https://spherical-harmonics.hatenablog.com/entry/2024/10/11/234001

一般は半径 $r$ の $n$ 次元超球体の体積を $r$ で微分すれば半径 $r$ の $n-1$ 次元超球面の表面積（ $n-1$ 次元体積）が求まる．

そこでn次元球体の体積を求めてみよう．

　 $n$ 次元極座標：
$x_1=r\cos\theta_1$ ，
$x_2=r\sin\theta_1\cos\theta_2$ ，
$x_3=r\sin\theta_1\sin\theta_2\cos\theta_3$ ，
…，
$x_{n-1}=r\sin\theta_1\cdots \sin\theta_{n-2}\cos\theta_{n-1}$ ，
$x_{n}=r\sin\theta_1\cdots \sin\theta_{n-2}\sin\theta_{n-1}$

について，

　 $n$ 次元極座標のヤコビアンは
$J_n=\dfrac{\partial x}{\partial (r,\theta)}=r^{n-1}\displaystyle\prod_{i=1}^{n-1}\sin^{n-i-1}\theta_i$

となる．というのも
$J_{n+1}=\begin{pmatrix} \mbox{diag}\{I_{n-1}，\cos\theta_n\} J_n & \begin{pmatrix} 0_{n-1} \\ -x_{n+1} \end{pmatrix} \\ (J_n の n 行目の \sin\theta_{n}倍) & x_n \end{pmatrix}$
となるので，
$\mbox{det}\, J_{n+1}=\mbox{det}\,\begin{pmatrix} J_n & \begin{pmatrix} 0_{n-1} \\ -\dfrac{x_{n+1}}{\cos\theta_n} \end{pmatrix} \\ (J_n の n 行目の \cos\theta_n\sin\theta_{n}倍) & \cos\theta_nx_n \end{pmatrix}$
$=\mbox{det}\,\begin{pmatrix} J_n & \begin{pmatrix} 0_{n-1} \\ -\dfrac{x_{n+1}}{\cos\theta_n} \end{pmatrix} \\ 0 & \cos\theta_nx_n+\sin\theta_n x_{n+1} \end{pmatrix}$
$=\mbox{det}\, J_n \cdot (\cos\theta_nx_n+\sin\theta_n x_{n+1})$
$=\mbox{det}\, J_n \cdot r \displaystyle\prod_{i=1}^{n-1} \sin\theta_i$
が帰納的に成立するので， $J_2=r$ より $J_n=\dfrac{\partial x}{\partial (r,\theta)}=r^{n-1}\displaystyle\prod_{i=1}^{n-1}\sin^{n-i-1}\theta_i$ が言える．

例えば $J_3=J_2\cdot r\sin\theta_1=r^2\sin\theta_1$ ，
$J_4=J_3\cdot r\sin\theta_1\sin\theta_2=r^3\sin^2\theta_1\sin\theta_2$ ，…
となる．

よって半径 $R$ の $n$ 次元球体の体積 $V_n$ は
$V_n=\displaystyle\int dx_1\cdots dx_n$ $=2^n\displaystyle\int_{r=0}^R\int_{\theta_1=0}^{\pi/2}\cdots\int_{\theta_{n-1}=0}^{\pi/2} J_n dr d\theta_1\cdots d\theta_{n-1}$ （ $0\leqq \theta_1，\ldots，\theta_{n-2}\leqq \pi$ ， $0\leqq \theta_{n-1}\leqq 2\pi$ ）
と書け，Wallis 積分 $I_n=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sin^n\theta\,d\theta=$ を用いると
$V_{n}=2^n\displaystyle\int_{r=0}^R\int_{\theta_1=0}^{\pi/2}\cdots\int_{\theta_{n-1}=0}^{\pi/2} \left(r^{n-1}\prod_{i=1}^{n-1}\sin^{n-i-1}\theta_i\right) d\theta_1\cdots d\theta_{n-1}$ $=\dfrac{2^n R^n}{n} \displaystyle\prod_{i=0}^{n-2}\int_{0}^{\pi/2} \sin^i \theta\,d\theta$ $=\dfrac{2^nR^n}{n}\displaystyle\prod_{i=0}^{n-2} I_i$
と表すことができる．

例えば
$V_2=\dfrac{4R^2}{2}I_0=\pi R^2$ ，
$V_3=\dfrac{8R^3}{3}I_0I_1=\dfrac{4}{3}\pi R^3$ ，
$V_4=\dfrac{16R^4}{4}I_0I_1I_2=4R^4\cdot\dfrac{\pi}{2}\cdot 1\cdot \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi^2}{2}R^4$
のようになる．

ここで
$\dfrac{V_{n+2}}{V_n}=4R^2\cdot\dfrac{n}{n+2}\cdot I_{n-1}I_n=\dfrac{2R^2}{n+2}\pi$
であるから，
$V_{2m}=\dfrac{\pi}{m}V_{2m-2}=\cdots=\dfrac{\pi^m}{m!}R^{2m}$ ，
$V_{2m+1}=\dfrac{2\pi}{2m+1}V_{2m-2}=\cdots=\dfrac{2^{m+1}\pi^m}{(2m+1)!!}R^{2m+1}$
となる．両方あわせて
$V_n=\dfrac{\pi^{n/2}}{\Gamma\left(\dfrac{n+2}{2}\right)}$
と表すことができる．

また， $V_n$ を $R$ で微分することにより
よって半径 $R$ の $n-1$ 次元球面の $n-1$ 次元体積 $S_{n-1}$ は
$S_{n-1}=2^nR^{n-1}\displaystyle\prod_{i=0}^{n-2} I_i$
であることがわかり， $n-1$ 次元単位球面の $n-1$ 次元体積 $S_{n-1}$ は
$S_{n-1}=2^n\displaystyle\int_{\theta_1=0}^{\pi/2}\cdots\int_{\theta_{n-1}=0}^{\pi/2} \left(\prod_{i=1}^{n-1}\sin^{n-i-1}\theta_i\right) d\theta_1\cdots d\theta_{n-1}$
$=2^n \displaystyle\prod_{i=0}^{n-2}\int_{0}^{\pi/2} \sin^i \theta\,d\theta$
と書くことができる．

話は変わって $n$ 次元単位球体の $x_1=\cos\theta_1$ における切り口は半径 $\sin\theta_1$ の $n-1$ 次元球体であるから
$V_n|_{R=1}=2\displaystyle\int_0^1 V_{n-1}|_{R=1}\cdot \sin^{n-1}\theta_1V_{n-1}dx_1$
$=2V_{n-1}|_{R=1}\displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^{n}\theta_1\,d\theta_1$
と求めることができる．これから Wallis 積分を用いて
$\dfrac{V_n}{V_{n-1}}= 2I_n\cdot R^2$
となる．よって
$\dfrac{V_{n+2}}{V_{n}}= 4R^2I_{n+1}I_{n+2}$
となる．もちろん $I_{n+1}I_{n+2}=\dfrac{n}{n+1}I_{n-1}\cdot \dfrac{n+1}{n+2}I_n =\dfrac{n}{n+2}I_{n-1}I_n$ だから先程の結果と一致する．