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バルビエの定理 - 球面倶楽部零八式 mark II

$x$ 軸上の線分要素 $dl$ を $(\cos\theta，\sin\theta)$ 方向に垂直な直線に正射影した線分要素は
$|\cos\theta|\, dl$
だから，これを全方向で積分すると，
$\displaystyle\int_0^{2\pi} (|\cos\theta|\, dl)\, d\theta$ $=4 dl$
となる．よってこれを凸図形の周で積分すると，凸図形の表と裏で重なることに注意すると
$2(凸図形の正射影の積分)=4l=4(凸図形の周長)$ ，
つまり
$(凸図形の正射影の積分)=2(凸図形の周長)$ ，
が成立する．定幅曲線（幅 $s$ ）の場合の周長 $L$ は
$2\pi\cdot s=2L$
より $\pi s$ で一定となる．

$xy$ 平面上の面積要素 $dS$ を $(\cos\phi\sin\theta，\sin\phi\sin\theta，\cos\theta)$ 方向に垂直な平面に正射影した面積要素は
$|\cos\theta|\, dS$
だから，これを全方向で積分すると，単位球の表面積が
$8\displaystyle\int_0^{\pi/2}\int_0^{\pi/2} \sin\theta\, d\phi d\theta$ $=4\pi$
で計算されることに注意すると
$8\displaystyle\int_0^{\pi/2}\int_0^{\pi/2} \cos\theta\sin\theta dS\, d\phi d\theta$ $=2\pi\, dS$
となる．よってこれを3次元凸図形の表面で積分すると，，凸図形の表と裏で重なることに注意すると
$2 (凸図形の正射影の積分)=2\pi (凸図形の表面積)$ ，
つまり
$(凸図形の正射影の積分)=\pi (凸図形の表面積)$ ，
が成立する．単位球の場合は
$4\pi\cdot \pi =\pi (凸図形の表面積)$
であるから，単位球の表面積は $4\pi$ となる．

もっとも，この関係式を導くのには用いていないが，この関係式を使って計算するときに全方向の積分，すなわち単位球の表面積が $4\pi$ になることを使用するので，鶏と卵である．

では4次元凸図形の3次元表面積ではどうなるだろうか．
4次元空間における $xyz$ 空間上の面積要素 $dS$ を $(\sin\theta_1\sin\theta_2\sin\theta_3，\sin\theta_1\sin\theta_2\cos\theta_3，\sin\theta_1\cos\theta_2，\cos\theta_1)$ 方向に垂直な平面に正射影した面積要素は
$|\cos\theta_1|\, dS$
だから，これを全方向で積分すると，単位球の表面積が
$16\displaystyle\int_0^{\pi/2}\int_0^{\pi/2}\int_0^{\pi/2} \sin^2\theta_1 \sin\theta_2 \, d\theta_3 d\theta_2 d\theta_1$ （ $=2\pi^2$ ）
で計算されることに注意すると
$\left(16\displaystyle\int_0^{\pi/2}\int_0^{\pi/2}\int_0^{\pi/2} \cos\theta_1\sin^2\theta_1 \sin\theta_2 \, d\theta_3 d\theta_2 d\theta_1\right)dS$ $=\dfrac{8}{3}\pi dS$
となる．よってこれを3次元凸図形の表面で積分すると，，凸図形の表と裏で重なることに注意すると
$2 (凸図形の正射影の積分)=\dfrac{8}{3}\pi (凸図形の表面積)$ ，
つまり
$(凸図形の正射影の積分)=\dfrac{4}{3}\pi (凸図形の表面積)$ ，
が成立する．単位球の場合は
$2\pi^2 \cdot \dfrac{4}{3}\pi =\dfrac{4}{3}\pi \cdot 2\pi^2$
と成立している．

最後の式から，
$(n次元単位球の表面積)\times (n-1次元単位球の体積)=(n-1次元単位球の体積)\times(n次元単位球の表面積)$
と関連して，
$(凸図形の正射影の積分)=(n-1次元単位球の体積)\times (凸図形の表面積)$
が成立することが見えてくるだろう．実は表面積と対比させた積分は超球の体積を求める積分になっている．

$n$ 次元単位球体の体積を $V_n$ ， $n$ 次元単位球面の $n$ 次元体積を $S_n$ とする．ここで $n$ 次元単位球面は $n+1$ 次元単位球体の境界となることに注意しておく．

$n$ 次元凸図形の $n-1$ 次元表面積について
面積要素 $dS$ は
$|\cos\theta_1|\, dS$
で，これを全方向で積分すると，
$\left(2^n\displaystyle\int_0^{\pi/2}\int_0^{\pi/2}\cdots\int_0^{\pi/2} \cos\theta_1\sin^{n-2}\theta_1 \sin^{n-3}\theta_2 \cdots \sin\theta_{n-2} \, d\theta_{n-1} d\theta_{n-2}\cdots d\theta_1\right)dS$
$=\left(2\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos\theta_1\sin^{n-2}\theta_1\,d\theta_1\cdot 2^{n-1}\int_0^{\pi/2} \sin^{n-3}\theta_2 \cdots \sin\theta_{n-2} \, d\theta_{n-1} d\theta_{n-2}\cdots d\theta_2\right)dS$ $=\left(2\displaystyle\int_0^{1} t^{n-2}\,dt\cdot S_{n-2}\right)dS$ $=\dfrac{2S_{n-2}}{n-1}dS$ $=2V_{n-1} dS$
となる．よってこれを積分すると，，凸図形の表と裏で重なることに注意すると
$2 (凸図形の正射影の積分)=2V_{n-1}\times (凸図形の表面積)$ ，
つまり
$(凸図形の正射影の積分)=V_{n-1}\times (凸図形の表面積)$
となる．

発端となった動画の結果は
$(凸図形の表面積)$ $=\dfrac{S_{n-1}}{V_{n-1}}\times(凸図形の正射影の平均値)$
の形にしており，
$\dfrac{S_{2}}{V_{2}}=\dfrac{4\pi}{\pi}=4$
なっている．この形で，小林昭七先生の問題を考えると
$(凸図形の周長)$ $=\dfrac{S_{1}}{V_{1}}\times(凸図形の正射影の長さの平均値)$
$=\dfrac{2\pi}{2}\times(凸図形の正射影の長さの平均値)$ $=\pi \times(凸図形の正射影の長さの平均値)$
となっていることがわかる．

一般に $n$ 次元空間においては
$(凸図形の表面積)$ $=\dfrac{S_{n-1}}{V_{n-1}}\times(凸図形の正射影の平均値)$
$=\dfrac{\quad\dfrac{n\pi^{n/2}}{\Gamma\left(\dfrac{n}{2}+1\right)}\quad}{\dfrac{\pi^{(n-1)/2}}{\Gamma\left(\dfrac{n}{2}+\dfrac{1}{2}\right)}}\times(凸図形の正射影の平均値)$
$=\dfrac{n\sqrt{\pi}\Gamma\left(\dfrac{n}{2}+\dfrac{1}{2}\right)}{\Gamma\left(\dfrac{n}{2}+1\right)}\times(凸図形の正射影の平均値)$
$=nB\left(\dfrac{n}{2}+\dfrac{1}{2}，\dfrac{1}{2}\right)\times(凸図形の正射影の平均値)$
となる．
$nB\left(\dfrac{n}{2}+\dfrac{1}{2}，\dfrac{1}{2}\right)$
は $n$ が奇数のときは有理数となり，偶数のときは $\pi$ の有理数倍となる．

これは $n=2m-1$ のとき
$\dfrac{n\sqrt{\pi}\Gamma(m)}{\Gamma\left(m+\dfrac{1}{2}\right)}$ $=\dfrac{(2m-1)2^{2m-1}\{\Gamma(m)\}^2}{\Gamma(2m)}$ $=\dfrac{(2m-1)\{(m-1)!\}^2}{2^{1-2m}(2m-1)!}$ $=\dfrac{2^{n}}{{}_{n-1}\mbox{C}_{(n-1)/2}}$
となり， $n=2m$ のとき
$\dfrac{n\sqrt{\pi}\Gamma\left(m+\dfrac{1}{2}\right)}{\Gamma(m+1)}$ $=\dfrac{n \pi \Gamma(2m)}{2^{2m-1}\Gamma(m)\Gamma(m+1)}$ $=\dfrac{n\, {}_{n}\mbox{C}_{n/2}}{2^{n}}\pi$
となることからもわかる．

一般に $n$ 次元空間においては， $n=2m-1$ のとき
$(凸図形の表面積)$ $=\dfrac{2^{n}}{{}_{n-1}\mbox{C}_{(n-1)/2}}\times(凸図形の正射影の平均値)$
となり， $n=2m$ のとき
$(凸図形の表面積)$ $=\dfrac{n\, {}_{n}\mbox{C}_{n/2}}{2^{n}}\pi\times(凸図形の正射影の平均値)$
となる．