https://spherical-harmonics.hatenablog.com/entry/2024/10/09/234506

X で流れてきた 3Blue1BrownJapan の

www.youtube.com

を見て，これって

作者:小林昭七
裳華房

の p.22 にも載っている問題（定幅曲線の場合はバルビエの定理と呼ばれるので一般バルビエの定理としておこう）の拡張じゃないかと思った．ここでは凸曲線の幅の積分を用いているが，これは凸図形の正射影の長さの積分と等価だからだ．そう思うと，ビュフォンの針の問題ってこの問題の平面の凸図形が線分に縮退した場合であることに気がついた．

歴史を紐解くと

積分幾何学以前の幾何確率の研究について(pdf)

という文書があったので，そうだよね．というオチ．

実はこの話，最初に出会ったのはコンピュータビジョンで良く用いられるハフ変換である．ハフ変換は点群から2点を選び，その直線の Hesse の標準形のパラメータ $(h,\theta)$ を投票して票数の多い $(h,\theta)$ に対応する直線を検出する方法であるが，ある凸図形と交わる直線の Hesse の標準形のパラメータ $(h,\theta)$ の集合の領域の面積が凸図形の境界の周長になるということも知られていて，実はこれは一般バルビエの定理である．というのは凸図形の幅は， $\theta$ を固定したときの $h$ の範囲であり， $\theta$ を一周（もしくは $h$ が負になることを許して半周）させるのだから，一般バルビエの定理はハフ空間での面積を求めていることと同じという訳である．また積分幾何を勉強したときに学んだクロフトンの公式も同じことをやっていることがわかった．

で，これを3次元に拡張するとどうなるかというのが動画の結論にある

$(表面積)=4\times (正射影の平均値)$

という公式になる．高校3年生の書いた

ビュフォンの針の高次元への拡張(pdf)

なんかが読むには丁度良い．

一般の $n$ 次元への拡張では球面上の一様分布で平均をとることになるのでウォリス積分が登場するのが面白い．

おっ，無理矢理球面につなげたぞ．