https://spherical-harmonics.hatenablog.com/entry/2024/10/07/000526

極方程式 $r=f(\theta)$ を境界とする領域を横軸（ $x$ 軸）のまわりに回転させてできる立体の体積を考える際， $(0，0)$ ， $(r\cos\theta，r\sin\theta)$ ， $( (r+dr)\cos(\theta+d\theta)，(r+dr)\sin(\theta+d\theta) )$ を頂点とする三角形を横軸（ $x$ 軸）のまわりに回転させてできる微小立体の微小体積を求める必要がある．良くある方法は傘型を開いて錐で近似する手法だが，

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にあるように，パップス・ギュルダンを利用（重心の $y$ 座標が $\dfrac{1}{3}(r\sin\theta+(r+dr)\sin(\theta+d\theta))$ ，面積が $\dfrac{1}{2}r(r+dr)d\theta$ となる）して
$dV=2\pi\cdot\dfrac{1}{3}(r\sin\theta+\sin(\theta+d\theta))\cdot\dfrac{1}{2}r(r+dr)d\theta$
となり2次以上の微小量を無視すると
$dV=\dfrac{2}{3}\pi r^3 \sin\theta d\theta$
が成立することを利用しても良いが，立体角が
$2\pi\{(1-\cos(\theta+d\theta))-(1-\cos\theta)\}=2\pi\sin\theta d\theta$ となるので
$dV=\dfrac{4}{3}\pi r^3\cdot \dfrac{2\pi\sin\theta d\theta}{4\pi}$ $=\dfrac{2}{3}\pi r^3\sin\theta d\theta$
となると考えても良い．正確には
$\dfrac{2}{3}\pi r_{\min}^3\sin\theta d\theta\leqq dV\leqq \dfrac{2}{3}\pi r_{\max}^3\sin\theta d\theta$
と2つの球扇形で挟むことによって体積評価をして極限をとれば良い．
（球欠を定める球の切り口を底面，頂点が球の中心Oである円錐と球欠を合わせた立体を球(面)扇形と呼ぶ）