https://spherical-harmonics.hatenablog.com/entry/2024/10/02/192424

$x$ を変数とする次数2以下の実係数多項式全体のなす実線型空間を $V$ とする． $a，b$ を実数とし，線型写像 $S，T：V\mapsto V$ を
$S(f(x))=\dfrac{d}{dx} ( (ax+2)f(x) )$ ， $T(f(x))=(bx+3)\dfrac{d}{dx}f(x)$
と定める．

(1) $S$ を対角化する $V$ の基底が存在するための $a$ に対する必要十分条件を求めよ．

(2) $S$ ， $T$ を同時に対角化する $V$ の基底が存在するための $a，b$ に対する必要十分条件を求めよ．

[解答]
$f(x)=px^2+qx+r\mapsto \begin{pmatrix} p \\ q \\ r \end{pmatrix}$
とすると
$\dfrac{d}{dx} \left((ax+2)f(x)\right) \mapsto \begin{pmatrix} 3ap \\ 4p+2aq \\ 2q+ar \end{pmatrix}$ ，
$(bx+3)\dfrac{d}{dx}f(x)\mapsto \begin{pmatrix} 2b \\ 6p+bq \\ 3q\end{pmatrix}$
だから
$S=\begin{pmatrix} 3a & 0 & 0 \\ 4 & 2a & 0 \\ 0 & 2 & a\end{pmatrix}$ ， $T=\begin{pmatrix} 2b & 0 & 0 \\ 6 & b & 0 \\ 0 & 3 & 0\end{pmatrix}$
である．

(1) $a=0$ のとき， $S$ の固有値は $0$ で3重解であり，3次正方行列で固有値が3重解のときに対角化できるのは単位行列の定数倍に限るので，対角化できない．

$a\neq 0$ のとき， $S$ の固有値は全て異なるので対角化できる．

よって求める必要十分条件は $a\neq 0$ である．

(2) (1) より $a\neq 0$ であり，このとき $S$ の固有値は全て異なるので， $S，T$ が同時対角化できる必要十分条件は $ST=TS$ が成立することであり，
$U=3S-2T=\mbox{diag}\{9a-4b，6a-2b，3a\}$
とおくと $UT=TU$ と同値．
$UT-TU=3(2b-3a)\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$
であるから， $3a=2b\neq 0$ が求める必要十分条件となる．

$ST=TS$ が成立するので，
$ST(f)-TS(f)=\{(ax+2)\cdot b-a\cdot(bx+3)\}\dfrac{d}{dx}f(x)=(2b-3a)f'(x)\equiv 0$
から， $3a=2b\neq 0$ が求める必要十分条件となる，としても良い．

$A$ の固有値が全て異なるとき， $B$ が $A$ と同時対角化可能であることの必要十分条件は $AB=BA$ である．

[証明] $A$ の固有値が全て異なるので， $P^{-1}AP=L=\mbox{diag}\{\lambda_1,\ldots,\lambda_n\}$ （全ての $\lambda_i$ は異なる）と表現できる．ここで $P^{-1}BP=K=(k_{ij})$ とおくと，
$AB=PLP^{-1}PKP^{-1}=PLKP^{-1}$ ， $BA=PKP^{-1}PLP^{-1}=PKLP^{-1}$
であるから， $AB=BA$ と $LK=KL$ は同値である．

よって $LK=KL$ と $K$ が対角行列であることが同値であることを示せば良いが，
$(LK-KL)_{ij}=(\lambda_j-\lambda_i)k_{ij}$
であるから， $LK=KL$ と $k_{ij}=0$ for all $i\neq j$ ，つまり $K$ が対角行列であることは同値．