https://spherical-harmonics.hatenablog.com/entry/2024/09/22/235451

連立方程式 $2x+3y=5$ ， $x+2y=4$ を解くとき，後者から求めた $x=4-2y$ を前者に代入すると $y=3$ が得られ，これと $x+2y=4$ から $x=-2$ が得られるという基本的な解法がある．

これは $2x+3y=5$ ， $x+2y=4$ の交点を通る直線（のうち $x+2y=4$ 以外のものが）が束（pencil）で
$2x+3y-5+k(x+2y-4)=0$
と表現できるので，この直線のうち $x$ 軸に平行なものを探すと $k=-2$ とした
$-y+3=0$ ，つまり $y=3$
が得られる．

よって $2x+3y=5$ ， $x+2y=4$ の交点は $x+2y=4$ ， $y=3$ の交点に一致して $(x,y)=(-2,3)$ となる，というように捉えることができる．

そして， $y=3$ は交点を $y$ 軸に正射影すると $3$ になるという意味を表しており，言わば $y=3$ は $y$ 軸に垂直な柱（ちゅう）と考えることができる．

さて，

実数 $a，b，c$ が $a+b+c=8$ ， $a^2+b^2+c^2=32$ を満たすとき，実数 $c$ の最大値は？

という問題で，

まずは平面 a+b+c＝8 と球面 a²+b²+c²＝32 の共通部分（円周）において，c 座標が最も大きい（高い）点 (a, b, c)を調べる.
(a, b, c)＝[8/3](1, 1, 1)+[√(32−[8√3/3]²)/(8√6/3)][(0, 0, 8)−[8/3](1, 1, 1)]
＝[8/3](1, 1, 1)+[√(32/3)/√6](−1, −1, 2)
＝(4/3, 4/3, 16/3).
∴ ア, イは 16/3. https://t.co/SiztVbBDcx
— 坂どん (@banban7866) 2024年9月22日

のように，球面と平面の交線としての円を考えると，空間の円のパラメータ表示を理解しておく必要があるし，このスレッドの $ab$ 平面の直線 $a+b=8-c$ と $a^2+b^2=32-c^2$ が共有点をもつ $c$ の条件を考えるというのも基本的なのだが，「球面と平面の交線としての円」は，
平面 $a+b+c=8$ と楕円柱 $(8-b-c)^2+b^2+c^2=32$ の交わりだから，この円を $bc$ 平面に正射影したものは楕円 $(8-b-c)^2+b^2+c^2=32$ ，つまり $b^2+bc+c^2-8b-8c+16=0$ となる，と考える視点も持っておこう．

斜めの楕円はあまり高校では扱わないが，このような実数 $b$ が存在する $c$ の条件は $b$ についての2次方程式
$b^2+(c-8)b+c^2-8c+16=0$
が実数解をもつことで
$(c-8)^2-4(c^2-8c+16)=-c(3c-16)\geqq 0$
から $0\leqq c\leqq\dfrac{16}{3}$
とすれば良い．

もっとも
$b^2+(c-8)b+c^2-8c+16=\left(b+\dfrac{c-8}{2}\right)^2+3c^2-16c=0$
と平方完成して $b+\dfrac{c-8}{2}=B$ とおくと，「 $b，c$ が実数」と「 $B，c$ が実数」が同値であるから（大学生であれば正則な線型変換のイメージ），
$B^2+3\left(c-\dfrac{8}{3}\right)^2=\dfrac{64}{3}$
となり $Bc$ 平面における楕円を表すことがわかる．

この楕円の軸を考えれば $c$ のとりうる値の範囲は $\dfrac{8}{3}-\dfrac{8}{3}\leqq c\leqq \dfrac{8}{3}+\dfrac{8}{3}$ となり，最大値は $\dfrac{16}{3}$ となることがわかる．

斜めの楕円の面積を求めるときも，回転とは異なる線型変換によって標準形を平行移動させた楕円に変換する手法が用いられる．
斜めの楕円の面積 - 球面倶楽部零八式 mark II