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コーシー分布は中心極限定理に従わない

統計

正規分布の特性関数は $\exp\left(i\mu t -\dfrac{\sigma^2t^2}{2}\right)$ である．

コーシー分布（p.d.f. が $\dfrac{1}{\pi(1+x^2)}$ ）の特性関数は $\exp(-|t|)$ であるから， $n$ 個の標本平均の特性関数は $\{\exp(-|t/n|)\}^n=\exp(-|t|)$ と同じ特性関数をもつ（再生性）．

注) 任意のコーシー分布に従うデータの標本平均は同じコーシー分布に従う．

なので，この分布が標準正規分布に近づくことはない．

注) 特性関数の $\exp$ の肩の部分に $t$ の2次の項が登場しないことには正規分布に近付くことはできないと考えれば良いだろう．

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