https://spherical-harmonics.hatenablog.com/entry/2024/07/07/003908

Aが対称行列のときに、AX=-XAとなる行列Xってどう考える？
対角化の視点から考えてるんだけどわからない、、Aが対称行列だから直行行列によって対角化できそうだけど、
— すうがくがんばりたい (@mathyowa_kun) 2024年7月6日

Aが対称行列のときに、AX=-XAとなる行列Xってどう考える？
対角化の視点から考えてるんだけどわからない、、Aが対称行列だから直行行列によって対角化できそうだけど、

$A=R(\theta)BR(-\theta)$ where $B=\mbox{diag}\{b_1,\ldots,b_n\}(昇順)$ とし， $Y=R(\theta)XR(-\theta)$ とすると
$BY+YB=O$
が成立する．この行列の $ij$ 成分より
$(b_i+b_j)y_{ij}=0$
が成立するので，
$b_i+b_j\neq 0$ ならば $y_{ij}=0$ ，
$b_i+b_j=0$ ならば $y_{ij}$ は任意となる．

これに従って $Y$ を構成して $X$ に戻せば良い．

また，これはシルベスタ方程式であるから行列のクロネッカ積を用いて書き換えると
$(I\otimes A+A^{\top}\otimes I)\mbox{vec}(X)=\mbox{vec}(O)=\textbf{0}$
となるので $(I\otimes A+A^{\top}\otimes I)$ の核が $\mbox{vec}(X)$ である．

なお， $(I\otimes A+A^{\top}\otimes I)$ の固有値は
$A$ の固有値を $a_1,\ldots,a_n$ とおくと $a_i+a_j$ ( $1\leqq i,j\leqq n$ ) となるので
和が0になる組が存在しなければ $(I\otimes A+A^{\top}\otimes I)$ には逆行列が存在して $X=O$ であることがわかる．

参考
2009年(平成21年)山梨大学医学部後期-数学[1](3) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR