https://spherical-harmonics.hatenablog.com/entry/2024/07/06/002122

$\mbox{Arcsin}(3x-4x^3)$ を微分せよ．

合成関数の微分法により
$\dfrac{3-12x^2}{\sqrt{1-(3x-4x^3)^2}}$
となり，これはこれで良いのであるが，ふと $x=\sin\theta$ とおくと $3x-4x^3=\sin 3\theta$ だから
$\dfrac{d}{dx}\mbox{Arcsin}(3x-4x^3)$ $=\dfrac{d}{dx}\mbox{Arcsin}(\sin 3\theta)$ $=\dfrac{d}{dx}(3\theta)$ $=3\dfrac{d\theta}{dx}=\dfrac{3}{\sqrt{1-x^2}}$
となるのでは？と思った．

そこで
$\dfrac{3-12x^2}{\sqrt{1-(3x-4x^3)^2}}$ $=\dfrac{3(1+2x)(1-2x)}{\sqrt{(1+2x)^2(1-2x)^2(1+x)(1-x)}}$
と変形することによって，この値は
$\dfrac{3}{\sqrt{1-x^2}}$
に等しい！と一瞬思いかけたがすぐに
$\mbox{sgn}(1-4x^2)\cdot \dfrac{3}{\sqrt{1-x^2}}$
じゃなきゃいけないことに気がついて，
$\mbox{Arcsin}(\sin 3\theta)$ $=3\theta$
となる必要十分条件は $-\dfrac{1}{2}\leqq x\leqq\dfrac{1}{2}$ に対応する
$-\dfrac{\pi}{6}\leqq \theta\leqq \dfrac{\pi}{6}$
じゃないかと反省．

例えば $\dfrac{1}{2}\lt x\leqq\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ に対応する $\dfrac{\pi}{6}\lt \theta\leqq \dfrac{\pi}{3}$ のときは $\sin 3\theta=\sin(\pi-3\theta)$ なので
$\mbox{Arcsin}(\sin 3\theta)$ $=\pi-3\theta$
となり，
$\dfrac{d}{dx}\mbox{Arcsin}(3x-4x^3)$ $=\dfrac{d}{dx}\mbox{Arcsin}(\sin 3\theta)$ $=\dfrac{d}{dx}(\pi-3\theta)$ $=-3\dfrac{d\theta}{dx}=-\dfrac{3}{\sqrt{1-x^2}}$
となるし， $\dfrac{\sqrt{3}}{2}\lt x\leqq 1$ に対応する $\dfrac{\pi}{3}\lt \theta\leqq \dfrac{\pi}{2}$ のときは $\sin 3\theta=\sin(-\pi-3\theta)$ なので
$\mbox{Arcsin}(\sin 3\theta)$ $=-\pi-3\theta$
となり，
$\dfrac{d}{dx}\mbox{Arcsin}(3x-4x^3)$ $=\dfrac{d}{dx}\mbox{Arcsin}(\sin 3\theta)$ $=\dfrac{d}{dx}(-\pi-3\theta)$ $=-3\dfrac{d\theta}{dx}=-\dfrac{3}{\sqrt{1-x^2}}$
となる．

いずれにせよ
$\mbox{Arcsin}(\sin x)$ $=x+2n\pi$ または $-x+(2n-1)\pi$
となるので，その微分は $\pm\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ のいずれかとなる．この場合分けは

三角波の式を書け．

と言われたとき，フーリエ級数展開を利用した式を書くことが一般的ではあるが，
$y=\dfrac{2}{\pi} \mbox{Arcsin}\left(\sin\left(\dfrac{\pi}{2}x\right)\right)$
も三角波の式となる
（ $(0,0)，(1,1)，(2,0)，(3,-1)，(4,0)$ を結ぶ折れ線を周期とする波）
ことを考えればわかるだろう．

なお，類題として

$\mbox{Arctan}\dfrac{2x}{1-x^2}$ を微分せよ．

は場合分けがおきない． $x=\tan\theta$ とおくと
$\mbox{Arctan}\dfrac{2x}{1-x^2}$ $=\mbox{Arctan}(\tan 2\theta)$
となるが，任意の $u$ に対して $\mbox{Arctan}(\tan u)=u$ であるから場合分けは起きない．

よって
$\dfrac{d}{dx}\mbox{Arctan}\dfrac{2x}{1-x^2}$ $=2\dfrac{d\theta}{dx}=\dfrac{2}{1+x^2}$
となる．