https://spherical-harmonics.hatenablog.com/entry/2024/06/24/143946

3次方程式を解くとき、チルンハウス変換と3倍角の公式を利用して解く方法がある．

$t^3+at^2+bt+c=0$
を $t\mapsto t-\dfrac{a}{3}$ というチルンハウス変換により
$t^3+Bt+C=0$
に変形する．実はこれは3次方程式の解から見ると
$t_i \mapsto t_i-\overline{t}$
という変換を受けていることになる．
これとcos の3倍角の公式
$\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$
を比較すると
$t\mapsto \sqrt[3]{-\dfrac{4B}{3}}t$
の変換で
$4t^3-3t=D$
の形に変形できる．ここで
$t=\cos \alpha$
とおくと
$\cos3\alpha=D$
となる．もとの3次方程式が3実数解をもつなら $|D|\leqq 1$ となるように変形されるはずである．このとき，ある $\theta$ を用いて
$t=\cos\theta，\cos\left(\theta+\dfrac{2\pi}{3}\right)，\cos\left(\theta+\dfrac{4\pi}{3}\right)$
と書くことができるので，逆に辿れば
$t=\overline{t}+\sqrt[3]{-\dfrac{3}{4B}}\cos\theta$ ，
$\overline{t}+\sqrt[3]{-\dfrac{3}{4B}}\cos\left(\theta+\dfrac{2\pi}{3}\right)$ ，
$\overline{t}+\sqrt[3]{-\dfrac{3}{4B}}\cos\left(\theta+\dfrac{4\pi}{3}\right)$
のように書けるはず．ここで
$r=\sqrt[3]{-\dfrac{3}{4B}}$ となっているのが O 変換である．

このように，統計の言葉で見れば標準化の一種であり，3次方程式の3解を3角関数を用いて表す話にも帰着できるのである．

3次方程式の3解を3角関数を用いて表す話は、大昔の東北大(20度、80度、80度の2等辺三角形の話などでも登場し、予備校で教えていた時代に加法定理の応用として「3次方程式を3倍角の公式を利用して解く」ネタを良く話していたぐらい有名な話なのだが、それを最大最小問題に応用しようと思ったのが素晴しい。

2024.06.25追記
東北大学の問題は 1977年理系[3b]だった．

1977年(昭和52年)東北大学-数学(理科)[3b] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

この問題から3次方程式
$8x^3-6x-1=0$
の解は $x=\cos\theta$ とおくと
$\cos 3\theta=\dfrac{1}{2}$
と変形できるので
$x=\cos\dfrac{\pi}{9}，\cos\dfrac{7\pi}{9}，\cos\dfrac{13\pi}{9}$
と表すことができることがわかる．

というような，3次方程式を3倍角の公式を用いて解く話を高校生のときに教えて貰っていたので、予備校で教えていた時代にこの話を良くしていて，そしてO変換の話を拝見して思い出すに至ったという訳である．