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放べきの定理（と円と放物線が4点で交わるとき）

数学

定放物線 $y=ax^2+bx+c$ と定点 $\mbox{A}(p,q)$ を通る直線 $y=m(x-p)+q$ が2点 $\mbox{P}(\alpha,\ast)$ ， $\mbox{Q}(\beta,\ast)$ で交わるとき，

$ax^2+bx+c-\{m(x-p)+q\}=a(x-\alpha)(x-\beta)$

と因数分解できることから $x=p$ を代入して

$(p-\alpha)(p-\beta)=\dfrac{ap^2+bp+c-q}{a}=（定数）$

となることから， $\rm A,P,Q$ を $x$ 軸に正射影した点をそれぞれ $\rm A',P',Q'$ とするとき，線分長の積

$\rm A'P'\times A'Q'$

が一定となるのが放べきの定理と呼ばれているものである．

これから円と放物線が4点 $\rm P,Q,R,S$ で交わるとき， $\rm PQ$ と $\rm RS$ の交点を $\rm A$ とし， $\rm PQ$ と $\rm RS$ の傾きをそれぞれ $m,m'$ とし， $\rm A,P,Q,R,S$ を $x$ 軸に正射影した点をそれぞれ $\rm A',P',Q',R',S'$ とするとき，

$\rm P,Q,R,S$ が同一円周上
⇔ $\rm AP\times AQ=AR\times AS$
⇔ $(1+m^2)$ $\rm A'P'\times A'Q'=$ $(1+(m')^2)$ $\rm A'R'\times A'S'$
⇔ $m^2=(m')^2$
⇔ $m+m'=0$ （∵ $m\neq m'$ ）

が言える．以前の
単位円周上の異なる4点を含む2次関数が存在する条件 - 球面倶楽部零八式 mark II
円と放物線が4点で交わるとき，4点のうち2点を結ぶ直線の傾きと、残りの2点を結ぶ直線の傾きの和が 0 となること - 球面倶楽部零八式 mark II
にはこの方法について述べていなかったので、ここで述べておくことにする．

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