https://spherical-harmonics.hatenablog.com/entry/2022/11/08/133015

でちょっと調べたけどわからなかった(解決済)。

$x+y+z=0$ のとき，
$\dfrac{S_l}{l}\times\dfrac{S_m}{m}＝\dfrac{S_n}{n}$
が恒等式となるような自然数の組は，最高次数を考えて
$\dfrac{S_l}{l}\times\dfrac{S_m}{m}＝\dfrac{S_{l+m}}{l+m}$
とすれば良い．また， $m=1$ とすると
$0＝\dfrac{S_{l+1}}{l+1}$
となるが，これは恒等式ではないので $m\geqq 2$ として良く，同様に $l\geqq 2$ として良い．

$x=-y，z=0$ ， $2x=2y=-z$ のときを考えて
$\dfrac{(1+(-1)^l)(1+(-1)^m)}{lm}=\dfrac{1+(-1)^{l+m}}{l+m}$ …①，
$\dfrac{(2+(-2)^l)(2+(-2)^m)}{lm}=\dfrac{2+(-2)^{l+m}}{l+m}$ …②
が成り立つことが必要である．

$l,m$ がともに奇数とすると ①で $0=\dfrac{2}{l+m}\neq 0$ となり矛盾する．

$l,m$ がともに偶数とすると $\dfrac{4}{lm}=\dfrac{2}{l+m}$ から
$(l-2)(m-2)=4$ となり $l=m=4$ となるが，②が
$\dfrac{18^2}{4^2}=\dfrac{258}{8}$ つまり $324=516$
となり，これはみたさない．

よって， $l，m$ は片方が偶数，片方が奇数である．ここで $l$ が奇数（ $l\geqq 3$ ）， $m=2k$ が偶数（ $k\geqq 1$ ）であるとすると①は $0=0$ となり必ず成立し，②は
$\dfrac{(2^{l-1}-1)(2^m+2)}{lm}=\dfrac{2^{l+m-1}-1}{l+m}$ ，
つまり
$(l+2k)(2^{l-1}-1)(2^{2k-1}+1)=lk(2^{l+2k-1}-1)$
となる．この式において左辺が奇数であるから， $k$ は奇数である．

ここで $X=(2^{l-1}-1)(2^{2k-1}+1)，Y=2^{l+2k-1}-1$ とおくと
$X，Y\gt 0$ かつ
$Y-X=2\cdot 2^{l+2k-2}-1-\{(2^{l+2k-2}+2^{l-1}-2^{2k-1}-1)\}$
$=(2^{l-1}+1)(2^{2k-1}-1)+1\geqq 6\gt 0$
であるから $l+2k\gt lk$ ，つまり $(l-1)(k-2) \lt 2$ となる必要があり， $l\geqq 3，k\geqq 1$ ， $k$ が奇数であることから $k=1$ が必要である．