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C^∞級関数f:ℝ→ℝで、x≦0では0、x≧1では1であるものを構成せよってパズルみあって良いですよね

C^∞級関数f:ℝ→ℝで、x≦0では0、x≧1では1であるものを構成せよってパズルみあって良いですよね
— とと (@totomityann) 2022年10月11日

$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}0 & (x\leqq 0) \\ \dfrac{1}{2e^{-2}}e^{-\frac{1}{x}} & (0\lt x\leqq \dfrac{1}{2}) \\1-\dfrac{1}{2e^{-2}}e^{-\frac{1}{1-x}} & (\dfrac{1}{2}\leqq x\lt 1) \\1 & (1\leqq x) \end{array}\right.$

[補題] 任意の自然数 $n$ に対して
$\displaystyle\lim_{x\to 0+0} \dfrac{f(x)}{x^n}$ $=\displaystyle\lim_{t\to +\infty} \dfrac{1}{2e^{-2}}\cdot \dfrac{t^n}{e^t}=0$
を用いる．

$f(x)$ は $\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right)$ で点対称な図形である． $x\neq 0,\dfrac{1}{2},1$ を除いて明らかに無限回微分可能である．

$0\lt x\lt \dfrac{1}{2}$ で帰納的に $f^{(n)}(x)=\dfrac{(n-1次式以下)}{(2n次式)}f(x)$ ( $n=1,2,\ldots$ ) とかけるので，補題より $f^{(n)}(0+0)=0=f^{(n)}(0-0)$ となるので $x=0$ で無限回微分可能である．よって点対称性から $x=1$ でも無限回微分可能である．