https://spherical-harmonics.hatenablog.com/entry/2022/01/06/183013

角APB=BPCまたは角APB+BPC=180°となる点Pの軌跡。おもしろい曲線が出てきた。これ、何だろう？ https://t.co/TPEIL1mBDj pic.twitter.com/kRhKkTwcnq
— まさかさ (@masakasa2022) 2022年1月2日

${\rm A}(1),{\rm B}(\alpha),{\rm C}(-1),{\rm P}(z)$ とおくと、 $\mbox{arg}\dfrac{(z-\alpha)^2}{z^2-1}$ が実数であることから、
$F(z)=2z\bar{z}(\bar{\alpha}z-\alpha\bar{z})$
$+(\alpha^2+1)\bar{z}^2-(\bar{\alpha}^2+1)z^2$
$+2(\alpha z-\bar{\alpha}\bar{z})-(\alpha^2-\bar{\alpha}^2)=0$
が求める曲線の軌跡となる．

$\triangle {\rm ABC}$ の外接円の方程式は
$G(z)=(\alpha-\bar{\alpha})(z\bar{z}-1)+(1-\alpha\bar{\alpha})(z-\bar{z})=0$
であり，
$\triangle {\rm ABC}$ の $\rm B$ を通る中線の方程式は
$H(z)=\bar{\alpha}z-\alpha\bar{z}=0$
である．

ここで、 $|z|$ が大きいときは、 $F(z)$ の主要項をみると、 $H(z)\sim 0$ となるので曲線は $\triangle {\rm ABC}$ の $\rm B$ を通る中線に漸近する。

ちなみに、
$F(z)=2G(z)H(z)+(\alpha+\bar{\alpha})\{H(z)+(z-\bar{z}-\alpha+\bar{\alpha})\}\{H(z)-(z-\bar{z}-\alpha+\bar{\alpha})\}$
が成立し、 $\mbox{Re}(\alpha)=0$ ( $\rm BA=BC$ の二等辺三角形)のときは、
$F(z)=2G(z)H(z)=0$
となり、外接円と直線の和集合となる。