https://spherical-harmonics.hatenablog.com/entry/2020/09/16/155138

$2n-1$ 次の任意の多項式 $f(x)$ の区間 $[-1,1]$ における定積分の値は、 $n$ 次の Legendre 多項式 $P_{n}(x)$ の零点 $x_1,\ldots,x_n$ を用いて
$\displaystyle\int_{-1}^{1} f(x) dx = \sum_{i=1}^n \dfrac{2(1-x_i^2)}{\{nP_{n-1}(x_i)\}^2} f(x_i)$ と書ける。

[証明]

$2n-1$ 次の多項式 $f(x)$ を $n$ 次の Legendre 多項式 $P_{n}(x)$ で割った商を $Q(x)$ ，余りを $R(x)$ とすると、 $Q(x)$ ， $R(x)$ は $n-1$ 次以下の多項式で
$\displaystyle\int_{-1}^{1} f(x) dx =\int_{-1}^{1} \{P_n(x)Q(x)+R(x)\} dx=\int_{-1}^{1} R(x) dx$
をみたす．

また、 $n$ 次方程式 $P_n(x)=0$ の解 $x_1,\ldots,x_n$ は相異なる $n$ 個の実数であり、 $f(x_i)=R(x_i)$ （ $i=1,\ldots,n$ ）が成立する．

よって、Lagrange の補間公式から、
$R(x)=\displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{f(x_i)}{P_n'(x_k)}\cdot\dfrac{P_n(x)}{x-x_k}$
となるので、
$\displaystyle\int_{-1}^{1} R(x) dx =\displaystyle\sum_{i=1}^n \Bigl\{ \dfrac{1}{P_n'(x_i)}\int_{-1}^{1} \dfrac{P_n(x)}{x-x_i} dx\Bigr\} f(x_i)$
となる．

よって重み
$w_i=\displaystyle\dfrac{1}{P_n'(x_i)}\int_{-1}^{1} \dfrac{P_n(x)}{x-x_i} dx$
を用いて $2n-1$ 次の任意の多項式 $f(x)$ の区間 $[-1,1]$ における定積分の値は、 $n$ 次の Legendre 多項式 $P_{n}(x)$ の零点 $x_1,\ldots,x_n$ を用いて
$\displaystyle\int_{-1}^{1} f(x) dx = \sum_{i=1}^n w_i f(x_i)$ と書けることがわかった．

そこで $f(x)=\dfrac{P_n(x)P_n'(x)}{x-x_i}$ とおくと，
$\displaystyle\int_{-1}^{1} \dfrac{P_n(x)P_n'(x)}{x-x_i} dx = \sum_{j=1}^n w_j \dfrac{P_n(x_j)P_n'(x_j)}{x_j-x_i}$
と形式的に書けることになるが，右辺のシグマの中身は $i\neq j$ のときは0であり， $i=j$ のときは極限を考えて
$\displaystyle\lim_{x\to x_i} \dfrac{P_n(x)P_n'(x_j)}{x-x_i}=\{P_n'(x_i)\}^2$
となるので，
$\displaystyle\int_{-1}^{1} \dfrac{P_n(x)P_n'(x)}{x-x_i} dx = w_i \{P_n'(x_i)\}^2$
となる．

ここで
$\displaystyle\int_{-1}^{1} \dfrac{P_n(x)P_n'(x)}{x-x_i} dx$ $=\Bigl[ \dfrac{\{P_n(x)\}^2}{x-x_i}\Bigr]_{-1}^1$ $-\displaystyle\int_{-1}^{1} P_n(x) \Bigl(\dfrac{P_n(x)}{x-x_i}\Bigr)' dx$
となるが， $\Bigl(\dfrac{P_n(x)}{x-x_i}\Bigr)'$ は $n-2$ 次の多項式により後の積分は 0 となるので
$\displaystyle\int_{-1}^{1} \dfrac{P_n(x)P_n'(x)}{x-x_i} dx$
$=\Bigl[ \dfrac{\{P_n(x)\}^2}{x-x_i}\Big]_{-1}^1 =\dfrac{1}{1-x_i}-\dfrac{1}{-1-x_i}=\dfrac{2}{1-x_i^2}$
となる．

よって
$w_i=\dfrac{2}{(1-x_i)^2\{P_n'(x)\}^2}$
となる．

ここで，Legendre 多項式について
$\dfrac{x^2-1}{n} P_n'(x)=xP_n(x)-P_{n-1}(x)$
が成立するので
$\dfrac{x_i^2-1}{n} P_n'(x_i)=-P_{n-1}(x_i)$
つまり $(x_i^2-1) P_n'(x_i)=nP_{n-1}(x_i)$ が成立するので，
$w_i=\dfrac{2(1-x_i)^2}{\{nP_{n-1}(x)\}^2}$

となり，証明された．