https://spherical-harmonics.hatenablog.com/entry/2020/09/03/015415

二次曲線上に異なる6点 ${\rm A}_i$ （ $i=1,2,3,4,5,6$ ）に対して，直線 ${\rm A}_i{\rm A}_{i+1}$ と ${\rm A}_{i+3}{\rm A}_{i+4}$ （ $i=1,2,3$ ）の交点を ${\rm P}_i$ とおく．但し添字は3を法として考える．このとき3点 ${\rm P}_1$ ， ${\rm P}_2$ ， ${\rm P}_3$ は同一直線上にある

射影幾何によるパスカルの定理の証明（１） - 球面倶楽部零八式 mark II
も参照のこと

とある資料では， ${\rm A}_{1}{\rm A}_{2}$ ， ${\rm A}_{3}{\rm A}_{4}$ ， ${\rm A}_{5}{\rm A}_{6}$ を $x=0$ ， $y=0$ ， $z=0$ とおいているが，3直線が共点のときは交点の座標が $(0,0,0)$ となってしまうので，3直線が共点のときは別に証明しなければならない．対称性が高くて証明は綺麗なのだけど．

もちろん，3直線が共点のときは極限を考えれば成り立つのだが．

とりあえず別の座標をとってみる．

${\rm A}_1(1,0,0)$ ， ${\rm A}_2(0,1,0)$ ， ${\rm A}_4(0,0,1)$ ， ${\rm A}_5(1,1,1)$ とおく．このとき， $x=0$ ， $y=0$ ， $z=0$ は直線 ${\rm A}_2{\rm A}_4$ ，直線 ${\rm A}_1{\rm A}_4$ ，直線 ${\rm A}_1{\rm A}_2$ だから， ${\rm A}_5，{\rm A}_6$ の座標の成分に0はない．

よって ${\rm A}_3\Bigl(\dfrac{1}{p},\dfrac{1}{q},1\Bigr)$ ， ${\rm A}_6\Bigl(\dfrac{1}{s},\dfrac{1}{t},1\Bigr)$ とおける．

2次曲線が ${\rm A}_1，{\rm A}_2，{\rm A}_4$ を通ることから，その方程式を　 $axy+byz+czx=0$ とおくことができ，それが ${\rm A}_3，{\rm A}_6$ を通るので，

${\rm A}_1$ ， ${\rm A}_2$ ， ${\rm A}_3$ ， ${\rm A}_4$ ， ${\rm A}_6$ の5点を通る
2次曲線の式は
$C=(pt-qs)xy+(q-t)yz+(s-p)zx$
となる．

この2次曲線が ${\rm A}_5$ を通ることと $(p-1)(t-1)=(q-1)(s-1)$ は同値である．

直線 ${\rm A}_i{\rm A}_j$ の方程式を $l_{ij}=0$ とおくと，
$l_{12}=z=0$ ， $l_{23}=px-z=0$ ， $l_{34}=px-qy=0$ ， $l_{45}=x-y=0$ ， $l_{56}=(t-1)sx-(s-1)ty+(s-t)z=0$ ， $l_{61}=ty-z=0$
とかける．

${\rm P}_1$ は $l_{12}$ と $l_{45}$ の交点だから ${\rm P}_1(1,1,0)$ となる．
${\rm P}_2$ は $l_{23}$ と $l_{56}$ の交点だから ${\rm P}_2((s-1)t,s(t-1)+p(s-t),p(s-1)t)$ となる．
${\rm P}_3$ は $l_{34}$ と $l_{61}$ の交点だから ${\rm P}_3(q,p,pt)$ となる．

直線 ${\rm P}_1{\rm P}_3$ は $ptx-pty+(p-q)z=0$ となる．

この左辺に ${\rm P}_2$ を代入した式を $pt\neq 0$ で割ると
$(s-1)t-\{s(t-1)+p(s-t)\}+(p-q)(s-1)$ $=(p-1)(t-1)-(q-1)(s-1)$
となるので，これが 0 となる必要十分条件は、 $(p-1)(t-1)=(q-1)(s-1)$ が成立することである．

つまり， ${\rm P}_2$ は直線 ${\rm P}_1{\rm P}_3$ 上にある必要十分条件は， ${\rm A}_5$ が ${\rm A}_1$ ， ${\rm A}_2$ ， ${\rm A}_3$ ， ${\rm A}_4$ ， ${\rm A}_6$ の5点を通る2次曲線上にあることである．

なお、2次曲線が ${\rm A}_5$ を通る条件を用いると，2次曲線の式は
$C=(q-t)y(z-x)+(s-p)x(z-y)=0$
（但し $(p-1)(t-1)=(q-1)(s-1)$ ）
となる．実際，6点 ${\rm A}_i$ （ $i=1,2,3,4,5,6$ ）を代入すれば成立する．

Pappus の定理と同じ方針でやろうとすると、 $l_{12}l_{34}l_{56}=z(px-qy)\{(t-1)sx-(s-1)ty+(s-t)z\}=0$ ， $l_{23}l_{45}l_{61}=(px-z)(x-y)(ty-z)=0$ の線形和で $(p-1)(t-1)=(q-1)(s-1)$ を利用しながら $\{(pt-qs)xy+(q-t)yz+(s-p)zx\}\{ptx-pty+(p-q)z\}=0$
を作らないといけない．結果は
$\dfrac{s-p}{s-1}l_{12}l_{34}l_{56}+(pt-qs)l_{23}l_{45}l_{61}$ $=\{(pt-qs)xy+(q-t)yz+(s-p)zx\}\{ptx-pty+(p-q)z\}=0$
となるのだが，まぁ，普通は無理．

これは6本の直線の方程式を求めるときに整理するための割算を行なっているので、係数の潜在的な次数が異なってしまったため，単純な足し引きではうまくいかないのである．

ちなみに， ${\rm A}_1$ 〜 ${\rm A}_5$ で定まる二次曲線上に ${\rm A}_6$ がある条件と， ${\rm P}_1$ 〜 ${\rm P}_3$ が共線であることが同値であることを示す方針もある．

sshmathgeom.private.coocan.jp

2次元射影平面の同次座標における演算を外積を使って表現する流れで証明している．