https://spherical-harmonics.hatenablog.com/entry/2020/08/09/161007

$a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n$ （ $n=0,1,2,...$ ）の母関数 $f(x)$ を求める．

$b_n=x^n a_n$ とすると $\dfrac{b_{n+2}}{x^{n+2}}=\dfrac{b_{n+1}}{x^{n+1}}+\dfrac{b_{n}}{x^n}$ だから、
$A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ qx^2 & px \end{pmatrix}$ とおくと、 $\begin{pmatrix} b_{n+1} \\ b_{n+2} \end{pmatrix}=A\begin{pmatrix} b_{n} \\ b_{n+1} \end{pmatrix}$ が成立するので、 $A$ の全ての固有値の絶対値が1未満の場合は、
$\begin{pmatrix} f(x) \\ f(x)-b_0 \end{pmatrix}=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \begin{pmatrix} b_{k} \\ b_{k+1} \end{pmatrix}$ $=\left(\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} A^{k}\right)\begin{pmatrix} b_{0} \\ b_1 \end{pmatrix}$ $=(I-A)^{-1}\begin{pmatrix} b_{0} \\ b_{1} \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -qx^2 & 1-px \end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix} b_{0} \\ b_{1} \end{pmatrix}$ $=\dfrac{1}{1-px-qx^2}\begin{pmatrix} 1-px & 1 \\ qx^2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_0 \\ a_1x \end{pmatrix}$ $=\dfrac{1}{1-px-qx^2}\begin{pmatrix} a_0+(a_1-pa_0)x \\ a_1x+qa_0x^2 \end{pmatrix}$
となり、 $f(x)=\dfrac{a_0+(a_1-pa_0)x}{1-px-qx^2}$ が成立する．

(1) 2次方程式 $t^2-pt-q=0$ が異なる2解 $\alpha_1,\alpha_2$ をもつとき、部分分数分解により、
$f(x)=K_1\dfrac{1}{1-\alpha_1 x}+K_2\dfrac{1}{1-\alpha_2 x}$
と分解できる．ここで等比数列 $\{r^n\}$ の母関数は $\dfrac{1}{1-rx}$ であるから、
$a_n=K_1 \alpha_1^{n}+K_2\alpha_2^{n}$
となることがわかる．

(2) 2次方程式 $t^2-pt-q=0$ が重解 $\beta$ （ $\beta=0$ とすると、漸化式が $a_{n+2}=0\cdot a_{n+1}+0\cdot a_n =0$ となるので、 $\beta\neq 0$ ）をもつとき、
$f(x)=K_1\dfrac{1}{1-\beta x}+K_2\dfrac{1}{(1-\beta x)^2}$
と分解できる．ここで等比数列 $\{r^n\}$ の母関数 $\dfrac{1}{1-rx}$ の両辺を微分すると、
$\{ (n+1)r^n \}$ の母関数が $\dfrac{r}{(1-rx)^2}$ となることから、
$a_n= K_1 \beta^n + \dfrac{K_2}{\beta}\cdot (n+1)\beta^n =(K_1'+K_2' n)\beta^n$
となることがわかる．

数列の母関数の話については
https://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/76/76-5.pdf
https://note.com/kumotaka/n/nd829ddf02e29（リンク切れ(2023.09.16)）
あたりを紹介しておくか。