https://spherical-harmonics.hatenablog.com/entry/2020/03/04/094612

平面上の点を $A(a_1,a_2)$ などとする．
$det \begin{pmatrix} 1 & a_1 & a_2 & a_1 \\ 1 & b_1 & b_2 & b_1 \\ 1 & c_1 & c_2 & c_1 \\ 1 & x_1 & x_2 & x_1 \end{pmatrix}=0$
を展開すると
$0=det \begin{pmatrix} 1 & a_1 & a_2 \\1 & b_1 & b_2 \\ 1 & c_1 & c_2 \end{pmatrix}x_1- det \begin{pmatrix}1 & a_1 & a_2 \\ 1 & b_1 & b_2 \\ 1 & x_1 & x_2 \end{pmatrix}c_1$
$+det \begin{pmatrix}1 & a_1 & a_2 \\ 1 & c_1 & c_2 \\ 1 & x_1 & x_2 \end{pmatrix}b_1-det \begin{pmatrix}1 & b_1 & b_2 \\1 & c_1 & c_2 \\ 1 & x_1 & x_2\end{pmatrix}a_1$

ここで例えば
$det \begin{pmatrix}1 & a_1 & a_2 \\ 1 & b_1 & b_2 \\ 1 & c_1 & c_2 \end{pmatrix}= det \begin{pmatrix} 1 & a_1 & a_2 \\ 0 & b_1-a_1 & b_2-a_2 \\ 0 & c_1-a_1 & c_2-a_2\end{pmatrix}$
$= det \begin{pmatrix} b_1-a_1 & b_2-a_2 \\ c_1-a_1 & c_2-a_2 \\ \end{pmatrix}= det \begin{pmatrix}b_1-a_1 & c_1-a_1 \\ b_2-a_2 & c_2-a_2 \\ \end{pmatrix}= det(\vec{AB}\, \vec{AC})$
であるから，
$det(\vec{AB}\quad \vec{AC})x_1=det(\vec{AB}\quad \vec{AX})c_1+det(\vec{CA}\quad \vec{CX})b_1+det(\vec{BC}\quad \vec{BX})a_1$

ここで $\dfrac{1}{2} det (\vec{AB}\quad \vec{AC})$ が $\triangle ABC$ の符号付き面積（ $A$ ， $B$ ， $C$ が反時計回りにあるとき正，時計回りにあるとき負）だから
$\triangle ABC\cdot x_1= \triangle ABX\cdot c_1 + \triangle CAX \cdot b_1 + \triangle BCX\cdot a_1$
$= \triangle XBC\cdot a_1 + \triangle XCA \cdot b_1 + \triangle XAB\cdot c_1$

同様に
$\triangle ABC\cdot x_2= \triangle XBC\cdot a_2 + \triangle XCA\cdot b_2 + \triangle XAB\cdot c_2$
だから
$\triangle ABC\cdot \vec{OX}= \triangle XBC\cdot\vec{OA} + \triangle XCA\cdot \vec{OB} + \triangle XAB\cdot \vec{OC}$
つまり
$\vec{OX}=\dfrac{\triangle XBC}{\triangle ABC}\cdot \vec{OA}+\dfrac{\triangle XCA}{\triangle ABC}\cdot \vec{OB} +\dfrac{\triangle XAB}{\triangle ABC}\cdot\vec{OC}$

ここで $\alpha=\dfrac{\triangle XBC}{\triangle ABC}, \quad\beta=\dfrac{\triangle XCA}{\triangle ABC},\quad\gamma=\dfrac{\triangle XAB}{\triangle ABC}$
とおくと， $\alpha+\beta+\gamma=1$ であるから，これは重心座標の表現．

つまり， $X$ の $A$ ， $B$ ， $C$ に関する重心座標 $(\alpha,\beta,\gamma)$ は $\triangle ABC$ を新しい点 $X$ を設けて３つの三角形に分割したときの面積比を表している．このことから，二次元重心座標は面積座標（area coordinate）とも呼ばれる．