https://spherical-harmonics.hatenablog.com/entry/20110711/1310343063

確率密度関数 $p(x,y)$ を極座標で表現した $P(r,\theta)$ を周辺化して $\theta$ に関する確率密度関数を作ろうと色々考えてみたときの話。

極座標で面積を求めるとき、原点からの距離の最大、最小を $R,r$ とすると

$\frac{1}{2}\int \{R^2-r^2\} d\theta$

で計算できるけど、これは

$\int (R-r)\cdot\left\{\frac{R+r}{2}\right\} d\theta$

と見ると、(切り口の長さ)×(切り口の重心までの距離)× $d\theta$ の積分になってる。だから円環の面積は

(切り口の長さ)×(重心の移動距離)

となって、これはパップスギュルダンの定理になっている。同じように考えると、確率密度関数 $p(x,y)$ を極座標で表現した $P(r,\theta)$ を周辺化して $\theta$ に関する確率密度関数を作るとき、

$P(\theta)=$ (切り口の面積)×(切り口の重心までの距離)＝(切り口のモーメント)

であることがわかる。いや、普通に考えても

$P(\theta)=\int r p(x,y) dr$

はヤコビアンからすぐに導ける。

モーメントとパップスギュルダンの定理はつながっていたけど、極座標に変数変換したときのヤコビアンがモーメントを表すことって気付いてなかった。ちょっと自分が間抜けだと思った瞬間。

きっと物理ができる人は、何自明なことを言ってんだこの人は、なんだろうなぁ。