https://spherical-harmonics.hatenablog.com/entry/20090807/1249612808

2009-08-06 - DOSEI日記の「球面上の勾配とその座標変換」への返信。但し私の普段の記法と違うので、自分流にやるので適宜読み替えてくんなまし。

$\theta$ を極座標の組とし $S^2$ 上の点の座標を極座標 $\theta_i$ で表現したものを $x_i$ とする。2つの極座標において $S^2$ の同一点を表現したとき $z=x_1=R^T x_2$ となったとする。

このとき $dz=\frac{\partial x_1}{\partial \theta_1}d\theta_1=R^T \frac{\partial x_2}{\partial \theta_2}d\theta_2$ が成立するので $\frac{\partial\theta_1}{\partial \theta_2}=\left(\frac{\partial x_1}{\partial \theta_1}\right)^{+}R^{T}\left(\frac{\partial x_1}{\partial \theta_1}\right)$
が成立する。

よって $g(\theta_2)=f(\theta_1)$ のとき $\nabla g =\left(\frac{\partial x_2}{\partial \theta_2}\right)^{T}R\left(\frac{\partial x_1}{\partial \theta_1}\right)^{+T}\nabla f$ となる。

これが DOSEI氏の結果と一致するかどうかだが、上の関係式を単純にすることができず、確かめることはできなかった。

以下、個人的メモ
■ムーアペンローズ逆行列は簡単にもとまる。
■ $\theta_1,\theta_2,R$ の間に成立する関係式をうまく使う必要がある
■ $R$ をオイラー角表示したときに、 $R_y(\beta)$ の部分だけ使えばよいのはDOSEI氏と同じ。
■このとき、 $\theta_1,\theta_2,\beta$ が球面三角形をなすかどうかちゃんと考えよう