2026-03-29

等比数列の和の公式(その3)

数学

等比数列ではないが， $a_n=nr^{n-1}$ （ $r\neq 1$ ）の和について：

$\dfrac{r^{n+1}-r}{r-1}$ を $r$ で微分して $\dfrac{nr^{n+1}-(n+1)r^n+1}{(1-r)^2}$ を導くことが良く行われる．

これは和 $S_n$ の漸化式 $S_n=S_{n-1}+nr^{n-1}$ から $S_n=(An+B)r^{n-1}+C$ の型，としても良いがこの漸化式を $n=0$ に拡張すると「 $S_0=S_1-a_1=0$ になっている」と考えると， $S_0=0$ を折り込んで $S_n=(An+B)r^{n}-B$ と置き， $S_1=1$ ， $S_2=1+2r$ から $(A+B)r-B=1$ ， $(2A+B)r^2-B=1+2r$ を解けば良いことがわかる．それなりに面倒ではあるが．

なお，

（ベルヌーイの不等式）
$n$ を $0$ 以上の整数， $x$ を $-1$ 以上の実数のとき $(1+x)^n\geqq 1+nx$
（下に凸な関数を接線で下から評価）
が成立する．

において $r=\dfrac{1}{1+x}\gt 0$ ， $n\to n+1$ としたものが， $nr^{n+1}-(n+1)r^n+1\gt 0$ であり，この不等式が $x=0$ （ $r=1$ ）での接線での評価に由来していることから $nr^{n+1}-(n+1)r^n+1$ は $(r-1)^2$ で割り切れることがわかり，実はこの商が $1+2r+3r^2+\cdots+nr^{n-1}$ に一致するというのが $a_n=nr^{n-1}$ （ $r\neq 1$ ）の和である．

個人的にはベルヌーイの不等式を平行移動した
$x^n-nx+n-1$ $=(x-1)^2(x^{n-2}+2x^{n-1}+\cdots + (n-2)x+n-1)$
を推したい．
（参考：AM-GM 不等式の補足 - 球面倶楽部零八式 mark II
1984年(昭和59年)東京大学-数学(理科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR）

もっとも，この因数分解自体面倒で，
$f_n(x)=x^n-nx+n-1$
とおくと
$f_n(x)-f_{n-1}(x)=(x-1)(x^{n-1}-1)$ $=(x-1)^2(x^{n-2}+x^{n-3}+\cdots+x+1)$
が成立することを利用するのが速いが，これは本質的に $nr^{n-1}$ の和の逆算をやっているだけだったりする．

2026-03-29

等比数列の和の公式(その2)

数学

$r\neq 1$ の場合だけ考える． $S_n=S_{n-1}+ar^{n-1}$ より $S_n=Ar^{n-1}+B$ の型．

$S_1=a$ ， $S_2=ar+a$ により， $A+B=a$ ， $Ar+B=ar+a$ から $A=\dfrac{ar}{r-1}$ ， $B=-\dfrac{a}{r-1}$ となり， $S_n=\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}$ となる．

この漸化式を $n=0$ に拡張すると「 $S_0=S_1-a_1=0$ になっている」と考えると， $S_n=A'r^{n}+B'$ で $S_0=0$ を折り込んで $S_n=A'(r^n-1)$ と置いて $S_1=a$ から $S_n=\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}$ となることがわかる．

2026-03-27

等比数列の和の公式

数学

いらない公式上位と最近Xで話題の等比数列の和の公式について．

公比 $r\neq 1$ の場合について：シフト演算子 $T: a_n\mapsto a_{n+1}=ra_n$ を用いて $(r-1)S_n=TS_n-S_n=x_{n+1}-x_1$ だから覚えるまでもなく導くことができる．そもそも公式自体 $S_n=\dfrac{ar^{n}-a}{r-1}$ とするよりも $S_n=\dfrac{x_{n+1}-x_1}{r-1}$ の方がわかり良く， $S_n=\dfrac{(次)-(初)}{(公比)-1}$ とすれば項数など気にしなくて良い，って高校生のときに考えた．

2026-03-22

春休み

春休みの飛行機は頭のおかしい人が増えるな。

バックパッカーが荷物を背負ったまま振り替えって殴打してくるし、隣の人が私の席の前に足をつっこんでくるし、啓蟄を過ぎたことを実感するよ。

後、手荷物1つなのに沢山持ってくる人もたくさん。日本語が読めないのかな。

2026-03-20

平面上の3直線で囲まれた部分の面積

数学

今年の東大理系数学第4問は正三角形の特徴を踏まえて図形的に考えないと面積の式を出すのが大変だったと言われていますが、係数行列の余因子を用いた3直線で囲まれる面積の一般公式でブン殴れば図形的に考えなくても解けます。#チート式 pic.twitter.com/bxfJP0pWn8
— 佐久間 (@keisankionwykip) 2026年3月19日

2026年は東大以外にも阪大で3次関数の3接線で囲まれる部分の面積が登場するので，意外と使える公式になってきたかも知れないな．

　（3直線によって囲まれてできる三角形の面積の公式）
$\begin{cases} a_1x+b_1y+c_1 \\ a_2x+b_2y+c_2 \\ a_3x+b_3y+c_3 \end{cases}$
で囲まれる三角形の面積は
$\dfrac{\left\{\mbox{det}\,\begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{pmatrix}\right\}^2}{2 \left|\mbox{det}\,\begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{pmatrix}\mbox{det}\,\begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 \end{pmatrix}\mbox{det}\,\begin{pmatrix} a_3 & b_3 \\ a_1 & b_1 \end{pmatrix}\right|}$
となる．

作者:穂刈四三二
共立出版

で知った気がするので確認しようと思ったが見当らないのでそのうち確認しておこう．受験数学的にはこれよりも

　（3直線によって囲まれてできる三角形の面積の公式）
$\begin{cases} y=m_1x+n_1 \\ y=m_2x+n_2 \\ y=m_3x+n_3 \end{cases}$
で囲まれる三角形の面積は
$\dfrac{\left\{\mbox{det}\,\begin{pmatrix} m_1 & n_1 \\ m_2 & n_2 \end{pmatrix}+\mbox{det}\,\begin{pmatrix} m_2 & n_2 \\ m_3 & n_3 \end{pmatrix}+\mbox{det}\,\begin{pmatrix} m_3 & n_3 \\ m_1 & n_1 \end{pmatrix}\right\}^2}{2 \left|(m_1-m_2)(m_2-m_3)(m_3-m_1)\right|}$
となる．

の方が使い勝手が良さそうだ．さらに，カヴァリエリの原理と組合せることができるので，

　（2直線と $x$ 軸によって囲まれてできる三角形の面積の公式）
$x$ 軸と $\begin{cases} y=m_1x+n_1 \\ y=m_2x+n_2 \end{cases}$ で囲まれる三角形の面積は $\dfrac{\left\{\mbox{det}\,\begin{pmatrix} m_1 & n_1 \\ m_2 & n_2 \end{pmatrix}\right\}^2}{2 \left|m_1m_2(m_1-m_2)\right|}$ となる．

とすれば非常に使い勝手が良い．

2026.03.29追記
2直線と $x$ 軸によって囲まれてできる三角形の面積については，3交点が
$\left(-\dfrac{n_1}{m_1}，0\right)$ ， $\left(-\dfrac{n_2}{m_2}，0\right)$ ， $\left(\ast，\dfrac{m_1n_2-m_2n_1}{m_1-m_2}\right)$
（3つめは $x$ を消去して $y$ 座標のみを求めた）となることから
$\dfrac{1}{2}\cdot\left|\dfrac{n_1}{m_1}-\dfrac{n_2}{m_2}\right|\cdot \left|\dfrac{m_1n_2-m_2n_1}{m_1-m_2}\right|$ $=\dfrac{(m_1n_2-m_2n_1)^2}{2\left|m_1m_2(m_1-m_2)\right|}$
と導くこともできる．

2026-03-20

正弦余弦の積和公式

数学

色々あって大抵同じことの翻訳だけど
$\begin{pmatrix} \cos\beta\\ \sin\beta \end{pmatrix}$ $+\begin{pmatrix} \cos(-\beta)\\ \sin(-\beta) \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 2\cos\beta \\0 \end{pmatrix}$
を $\alpha$ 回転すると
$\begin{pmatrix} \cos(\alpha+\beta)\\ \sin(\alpha+\beta) \end{pmatrix}$ $+\begin{pmatrix} \cos(\alpha-\beta)\\ \sin(\alpha-\beta) \end{pmatrix}$ $=2\cos\beta \begin{pmatrix} \cos\alpha \\ \sin\alpha \end{pmatrix}$
というのもアリだな．