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2026年(令和8年)山梨大学医学部後期-数学[4]

2026.03.13.18:29:50記

[4] $xyz$ 空間内の $3$ 点 $\mbox{O}(0，0，0)$ ， $\mbox{P}(0，0，1)$ ， $\mbox{Q}(t，-t^2+5t-4，0)$ を考える． $t$ が $1\leqq t\leqq 3$ の範囲を動くとき，三角形 $\mbox{OPQ}$ が通過してできる立体の体積を求めよ．

2026.03.13.18:29:50記
錐の体積は底面積と高さで決まります．

[解答]
$xy$ 平面上で線分 $\mbox{OQ}$ が通過してできる図形の面積を $S$ とすると，求める体積 $V$ は
$V=\dfrac{1}{3}\cdot S\cdot 1=\dfrac{1}{3}S$ となる．

$\mbox{Q}$ の軌跡は放物線 $y=-x^2+5x-4$ の一部であり， $t=2$ のときに $\mbox{OQ}$ が放物線の接線， $t=\dfrac{4}{3}$ と $t=3$ において線分が重なることに注意すると線分 $\mbox{OQ}$ が通過してできる図形は次図．

よって $S=\dfrac{4}{9}-\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{3^3}+1+\dfrac{1}{6}\cdot 1^3$ $=\dfrac{72-1+162+27}{162}$ $=\dfrac{130}{81}$ となり，求める体積は $\dfrac{130}{243}$ となる．

計算ミスしてそうです．

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