https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Yamanashi/2026/Igaku

2026.03.13.17:53:17記

[3] 次の問いに答えよ．

(1) $1$ 辺の長さが $1$ である正五角形の対角線の長さを $a$ とする． $a$ の値を求めよ．さらに，係数が整数である2次の整式 $f(x)$ で $f(a)=0$ となるものを $1$ つ求めよ．

(2) $a$ を(1)で求めた値とし， $\mbox{AB}=\mbox{AC}=\mbox{AD}=1$ ， $\mbox{BC}=\mbox{CD}=\mbox{DB}=a$ である三角錐 $\mbox{ABCD}$ を考える．頂点 $\mbox{A}$ から三角形 $\mbox{BCD}$ を含む平面に下ろした垂線とその平面との交点を $\mbox{H}$ とするとき， $\mbox{AH}$ の長さの $2$ 乗を求めよ．

(3) $1$ 辺の長さが $1$ である正十二面体のすべての頂点を通る球面を考える．この球面の半径の $2$ 乗を求めよ．

本問のテーマ

正十二面体の外接球の半径

2026.03.13.17:53:17記
一辺の長さが $1$ の正十二面体の外接球の半径は検索すれば $\dfrac{\sqrt{15}+\sqrt{3}}{4}$ であること計算しているページが沢山ヒットします．半径の $2$ 乗を求めさせるのは，ピタゴラスの定理から辺の長さを求める際に二重根号を外せない人を救済するための措置だと考えられます．

[解答]
(1)（有名問題なので略） $a=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ ， $f(x)=x^2-x-1$

(2) $\mbox{BH}$ は一辺の長さが $a$ の正三角形の頂点から重心までの距離であるから， $\mbox{BH}=a\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times\dfrac{2}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}a$ となる．よって
$\mbox{AH}^2=1-\mbox{BH}^2=1-\dfrac{a^2}{3}=\dfrac{3-\sqrt{5}}{6}$ となる．

注） $(\sqrt{5}-1)^2=2(3-\sqrt{5})$ により $\mbox{AH}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{3}}$ となる．

(3) 求める半径を $r$ とし，正十二面体の中心を $\mbox{O}$ とする．
$\mbox{OH}\perp\mbox{BH}$ であるから，
$\mbox{OB}^2=\mbox{OH}^2+\mbox{BH}^2$
であり， $\mbox{OB}=r$ ， $\mbox{OH}=r-\mbox{AH}$ であるから
$r^2=(r-\mbox{AH})^2+1-\mbox{AH}^2$ ，
つまり $2r\mbox{AH}=1$ となる．よって
$r^2=\dfrac{1}{4\mbox{AH}^2}$ $=\dfrac{3}{2(3-\sqrt{5})}$ $=\dfrac{9+3\sqrt{5}}{8}$
となる．

注） $(\sqrt{5}+1)^2=2(3+\sqrt{5})$ により $r^2=\dfrac{3(\sqrt{5}+1)^2}{16}$ となり，
$r=\dfrac{\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)}{4}$ となる．

2026.03.14記
誘導に従わない場合，(3)は次のように解く最速解法が知られています．

[大人の解答]
(3) 正十二面体には一辺が $a$ の立方体が埋め込まれているので，求める半径である正十二面体の外接円の半径 $r$ はこの立方体の対角線の長さ $\sqrt{3}a$ の半分，つまり $r=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a$ となる．よって $r^2=\dfrac{3}{4}a^2=\dfrac{3}{4}(a+1)=\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$ $=\dfrac{9+3\sqrt{5}}{8}$ となる．