https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Yamanashi/2026/Igaku_1

2026.03.14.21:58:30記

[1](5) 複素数 $\alpha，\beta$ は $2\alpha\beta-i\alpha-\beta+2i=0$ を満たす．複素数平面上で点 $\alpha$ が原点を中心とする単位円の周上を動くとき，点 $\beta$ が描く図形で囲まれる部分の面積は $\fbox{　コ　}$ である．

本問のテーマ

メビウス変換（複素平面上の一次分数変換）の円々対応
アポロニウスの円

2026.03.14.21:58:30記
$\beta=\dfrac{i\alpha-2i}{2\alpha-1}$ は複素平面上の一次分数変換でメビウス変換と呼ばれます．メビウス変換で複素平面上の円は円に移ります（直線も半径無限大の円であると考えます）．

[大人の解答]
$\alpha=1$ のとき $\beta=-i$ ， $\alpha=-1$ のとき $\beta=i$ ， $\alpha=i$ のとき $\beta=\dfrac{1+2i}{1-2i}=\dfrac{-3+4i}{5}$ となるので，メビウス変換の円々対応により， $\beta$ は
$\pm i$ ， $\dfrac{-3+4i}{5}$ の $3$ 点を通る円，つまり単位円の周上を動く．よって求める面積は $\pi$ である．よって $\fbox{　コ　}=\pi$ である．

順当には， $\alpha$ を $\beta$ で表し， $|\alpha|=1$ を利用します．以下では $\alpha$ を分離して絶対値を取ることで割り算を避けています．

[解答]
$(2\beta-i)\alpha=\beta-2i$ と $|\alpha|=1$ により， $|2\beta-i|=|\beta-2i|$ ，つまり
$2\left|\beta-\dfrac{i}{2}\right|=|\beta-2i|$ が成立する．

よって点 $\beta$ は $\dfrac{i}{2}$ からの距離と $2i$ からの距離が $1:2$ であり，よって点 $\beta$ はこの2点を $1:2$ に内分する点 $i$ と $1:2$ に外分する点 $-i$ を直径とする円周を描く（アポロニウスの円）．よって点 $\beta$ が描く図形は直径が $2$ の円であるから囲まれる部分の面積は $\pi$ である．