https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Yamanashi/2026/Igaku_1

2026.03.14.17:30:19記

[1](4) $3$ 次方程式 $2x^3+12x^2+30x+25=0$ について，ある実数 $a=\fbox{　キ　}$ により $x=y+a$ とおくと， $2$ 次の項がない $y$ の $3$ 次方程式 $\fbox{　ク　}=0$ が得られる．ここで $y=u+v$ とおき， $u^3+v^3=\dfrac{3}{2}$ の条件の下で $u，v$ の方程式を解くと，実数となる $u+v$ について $x=u+v+a=\fbox{　ケ　}$ となる．

本問のテーマ

カルダノの方法による3次方程式の解法

2026.03.14.17:30:19記

[解答]
$x=y-2$ とおくと
$2(y^3-6y^2+12y-8)$ $+12(y^2-4y+4)$ $+30(y-2)+25$ $=2y^3+6y-3=0$
となる．つまり
$y^3+3y-\dfrac{3}{2}=0$
となる．ここで $y=u+v$ とおくと
$u^3+v^3-\dfrac{3}{2}+3(uv+1)(u+v)=0$
であり， $u^3+v^3=\dfrac{3}{2}$ の条件の下では $u+v\neq 0$ （ $u+v=0$ ならば $u^3+v^3=0$ である）から $uv=-1$ となる．

よって $u^3+v^3=\dfrac{3}{2}$ ， $u^3v^3=-1$ から $u^3，v^3$ は $t$ についての二次方程式 $t^2-\dfrac{3}{2}-1=(t-2)(2t+1)=0$ の $2$ 解となり実数となるのは $\{u，v\}=\left\{\sqrt[3]{2}，-\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}\right\}$ である．よってこのとき
$x=\sqrt[3]{2}-\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}-2$ である．

よって $\fbox{　キ　}=-2$ ， $\fbox{　ク　}=2y^3+6y-3$ ， $\fbox{　ケ　}=\sqrt[3]{2}-\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}-2$ である．

$2x^3+12x^2+30x+25=0$ の残りの解は $\omega=\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ を用いて
$x=\sqrt[3]{2}\omega-\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}\omega^2-2$ ， $\sqrt[3]{2}\omega^2-\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}\omega-2$
となります．これを計算すると
$x=\dfrac{-2\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}-8\pm\sqrt{3}(2\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4})i}{4}$
となります．