https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Yamanashi/2026/Igaku_1

2026.03.14.17:30:19記

[1](3) 不等式 $6+ \log_{\tfrac{1}{3}}(x -5)\gt \log_{\sqrt{3}}(x-1)$ を満たす整数 $x$ の中で，最小のものは $\fbox{　オ　}$ であり，最大のものは $\fbox{　カ　}$ である．

2026.03.14.17:30:19記
$\log_{\tfrac{1}{3}}(x-5)=\dfrac{\log_3 (x-5)}{\log_3\dfrac{1}{3}}=-\log_3 (x-5)$ と変形しても良いですし， $\log_{a^m}b^m=\log_a b$ を用いて $\log_{3^{-1}}(x-5)=\log_3 (x-5)^{-1}=-\log_3 (x-5)$ と変形しても良いでしょう．同様に $\log_{\sqrt{3}}(x-1)=\log_3 (x-1)^2$ と変形できます．

[解答]
$\log$ の引数が正であることから $x\geqq 6$ であり，このとき
$6-\log_{3}(x-5)\gt \log_{3} (x -1)^2$ ，
つまり $\log_3 3^6 \gt \log_{3} (x -1)^2(x-5)$ から
$f(x)=(x-1)^2(x-5)\lt 729$
となる． $f(11)=10^2\cdot 6=600$ ， $f(12)=11^2\cdot 7\gt 11\cdot 10\cdot 7=770$ であるから $\fbox{　オ　}=6$ ， $\fbox{　カ　}=11$ である．