https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Yamanashi/2026/Igaku_1

2026.03.14.16:43:21記

[1](2) 関数 $f(x)=(\log x)^{3x}$ に対して， $f'(e)=\fbox{　ウ　}$ であり， $f''(e)=\fbox{　エ　}$ である．

2026.03.14.16:43:21記

[解答]
$x\gt 1$ で考える．

$f(e)=1$ である．

$\log f(x)= 3x \log(\log x)$ であるから，
$\dfrac{f'(x)}{f(x)}= 3 \log(\log x)+3x\cdot \dfrac{1}{\log x}\cdot\dfrac{1}{x}$ $=3\log (\log x) +\dfrac{3}{\log x}$ …(★)
となり $\dfrac{f'(e)}{f(e)}=3\log (\log e) +\dfrac{3}{\log e}$ $=3$ である．よって $f'(e)=3$ となる．

(★)を微分すると
$\dfrac{f''(x)f(x)-\{f'(x)\}^2}{\{f(x)\}^2}=\dfrac{3}{x\log x} -\dfrac{3}{x(\log x)^2}$
となるので，
$\dfrac{f''(e)\cdot 1-3^2}{1^2}=\dfrac{3}{e} -\dfrac{3}{e}=0$
つまり $f''(e)=9$ となる．

後半は次のようにしても良いでしょう．

[解答]（途中から）

$\dfrac{f'(x)}{f(x)}= 3 \log(\log x)+3x\cdot \dfrac{1}{\log x}\cdot\dfrac{1}{x}$ $=3\log (\log x) +\dfrac{3}{\log x}$ により
$f'(x)=\left\{3\log (\log x) +\dfrac{3}{\log x}\right\}f(x)$
であるから，
$f''(x)=\left\{\dfrac{3}{x\log x} -\dfrac{3}{x(\log x)^2}\right\}f(x)$ $+\left\{3\log (\log x) +\dfrac{3}{\log x}\right\}^2f(x)$
となるので，
$f''(e)=0\cdot f(e)+3^2f(e)=9$ となる．

[大人の解答]
$x\gt 1$ で考える．

$f(e)=1$ である．

$F(x,y)=(\log x)^{3y}$ とおくと
$dF=\dfrac{3y(\log x)^{3y-1}}{x}\,dx+3(\log(\log x))(\log x)^{3y}\,dy$ $=\dfrac{3y}{x\log x}F(x,y)\,dx+3(\log(\log x))F(x,y)\,dy$
であるから， $y=x$ として
$f'(x)=\dfrac{dF}{dx}=\left\{\dfrac{3}{\log x}+3(\log(\log x))\right\}f(x)$
となる（以下略）．