https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Yamanashi/2026/Igaku_1

2026.03.14.00:51:29記

[1](1) 数列 $\{a_n\}$ が $a_1=1$ ， $a_{n+1}=\dfrac{1}{2a_n+1}$ （ $n=1，2，3，…$ ）を満たすとき， $a_9=\fbox{　ア　}$ であり， $a_{15}=\fbox{　イ　}$ である．

2026.03.14.00:51:29記
一次分数型の二項間漸化式の解き方を知らない場合，まずは一般項を予測して帰納法を考えますが，
$a_1=1$ ， $a_2=\dfrac{1}{3}$ ， $a_3=\dfrac{3}{5}$ ， $a_4=\dfrac{5}{11}$ ， $a_5=\dfrac{11}{21}$
から一般項を予測するのは難しいです．ここで $a_{15}$ までなら根性で計算していけると覚悟を決めるかどうかの選択が迫られます．

まずは根性で計算していこうと思ったときにとる選択ですが，やはり漸化式から「 $a_{n+1}$ の分母は $a_n$ の分母に分子の $2$ 倍を足したもの」であることには気付きたいもので，それに気付けば $a_{15}$ ぐらいなら根性で求めようという気になるかと思います．

[解答]
$a_n=\dfrac{p_n}{p_{n+1}}$ （既約分数とは限らない）とおくと $a_{n+1}=\dfrac{p_{n+1}}{2p_n+p_{n+1}}$ となるので，
$p_{n+2}=p_{n+1}+2p_n$ ， $p_1=p_2=1$
が成立する．このとき
$p_3=3$ ， $p_4=5$ ， $p_5=11$ ， $p_6=21$ ， $p_7=43$ ， $p_8=85$ ， $p_9=171$ ， $p_{10}=341$ ， $p_{11}=683$ ， $p_{12}=1365$ ， $p_{13}=2731$ ， $p_{14}=5461$ ， $p_{15}=10293$ ， $p_{16}=21485$
となり， $a_9=\dfrac{p_9}{p_{10}}=\dfrac{171}{341}$ ， $a_{15}=\dfrac{p_{15}}{p_{16}}=\dfrac{10923}{21485}$ となる．

もちろん， $p_{n+2}=p_{n+1}+2p_n$ ， $p_1=p_2=1$ を解くことを推奨します．

[解答]
$a_n=\dfrac{p_n}{p_{n+1}}$ （既約分数とは限らない）とおくと
$a_{n+1}=\dfrac{p_{n+1}}{2p_n+p_{n+1}}$ となるので，
$p_{n+2}=p_{n+1}+2p_n$ が成立する． $a_1=\dfrac{1}{1}$ により， $p_1=p_2=1$ として漸化式を解くと $p_n=\dfrac{1}{3}\{2^n-(-1)^n\}$ となるので $p_9=\dfrac{1}{3}(512+1)=171$ ， $p_{10}=\dfrac{1}{3}(1024-1)=341$ ， $p_{15}=\dfrac{1}{3}(32768+1)=10923$ ， $p_{16}=\dfrac{1}{3}(65536-1)=21485$ となり，
$a_9=\dfrac{p_9}{p_{10}}=\dfrac{171}{341}$ となる．
$p_4=5$ ， $p_5=11$ ， $p_6=21$ ， $p_7=43$ ， $p_8=85$ ， $p_9=171$ ， $p_{10}=341$ であるから， $a_9=\dfrac{p_9}{p_{10}}=\dfrac{171}{341}$ ， $a_{15}=\dfrac{p_{15}}{p_{16}}=\dfrac{10923}{21485}$ となる．

何故 $a_9$ と $a_{15}$ なのかということですが，情報を高校で習っているのだから $2^{10}=1024$ や $2^{16}=65536$ は習いましたよね？ $2^{15}=32768$ も補数表現のときに習いましたよね？ってことでしょうか．

さて，結局 $a_n=\dfrac{p_n}{p_{n+1}}$ $=\dfrac{2^{n}-(-1)^{n}}{2^{n+1}-(-1)^{n+1}}$ となることがわかりますが，一般に， $a_{n+1}=\dfrac{1}{A a_n+B}$ という漸化式は $a_n=\dfrac{p_n}{p_{n+1}}$ の形にすると $p_n$ に関する三項間漸化式 $p_{n+2}=A p_n+Bp_{n+1}$ に帰着されて， $a_n=\dfrac{p_n}{p_{n+1}}$ の形となることがわかります．

なお，より一般的な形である $a_{n+1}=\dfrac{A a_n+B}{C a_n+D}$ という漸化式の解き方はネットで検索すれば沢山見つけることができます．基本的に誘導がないと解くのは難しいですが結局

$a_n=\dfrac{p\alpha^{n-1}+q\beta^{n-1}}{r\alpha^{n-1}+s\beta^{n-1}}$ 　または $a_n=\dfrac{pn+q}{rn+s}$

という形をしているという事実は頭の片隅においておきましょう．ここで $\alpha，\beta$ が特性方程式 $x=\dfrac{Ax+B}{Cx+D}$ の解となることも知っておくとなお良いでしょう（重解となるときは，特性方程式の解の値は関係ないことも）．

また，この型の漸化式は
$\begin{pmatrix} a_{n+1} \\ 1\end{pmatrix}$ $\parallel\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_{n} \\ 1\end{pmatrix}$ $\parallel\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}^n \begin{pmatrix} a_{1} \\ 1\end{pmatrix}$
と線形代数を習っていれば行列の $n$ 乗を求める問題に帰着できることに，将来行列が高校で復活したときのために言及しておきます．

ちなみに $a_n=\dfrac{2^{n}-(-1)^{n}}{2^{n+1}-(-1)^{n+1}}$ を用ると $a_9=\dfrac{513}{1023}$ ， $a_{15}=\dfrac{32769}{65535}$ と分子分母がともに $3$ で割り切れる既約分数でない形で求まります．しかし解答では既約分数の形で求まっています．このことは

$p_n$ は奇数を項にもつ数列であり，ユークリッドの互除法により $p_{n}$ と $p_{n+1}$ が互いに素であるならば $p_{n+1}$ と $p_{n+2}=2p_n+p_{n+1}$ も互いに素であり， $p_1=1$ ， $p_2=1$ は互いに素であるから，すべての自然数 $n$ に対して $p_n$ と $p_{n+1}$ は互いに素となり， $a_n=\dfrac{p_n}{p_{n+1}}$ は既約分数による表示となる

ことがわかります．さて，この数列をもう少し眺めてみましょう．
$a_1=1$ ， $a_2=\dfrac{1}{3}$ ， $a_3=\dfrac{3}{5}$ ， $a_4=\dfrac{5}{11}$ ， $a_5=\dfrac{11}{21}$
のままでは規則性が見えにくいですが，もう少し計算して分子分母を $3$ 倍すると
$a_1=\dfrac{3}{3}$ ， $a_2=\dfrac{3}{9}$ ， $a_3=\dfrac{9}{15}$ ， $a_4=\dfrac{15}{33}$ ， $a_5=\dfrac{33}{63}$ ， $a_6=\dfrac{63}{129}$
となり， $129=128+1$ ， $63=64-1$ ， $33=32+1$ ， $15=16-1$ ， $9=8+1$ ， $3=4-1$ ， $3=2+1$ という規則性が見えて
$a_n=\dfrac{2^{n}-(-1)^n}{2^{n+1}+(-1)^n}$
であることがわかります．いや規則性は見えにくいですね． $b_n=a_n-\dfrac{1}{2}$ とすると
$b_1=\dfrac{1}{2}$ ， $b_2=-\dfrac{1}{6}$ ， $b_3=\dfrac{1}{10}$ ， $b_4=-\dfrac{1}{22}$ ， $b_5=\dfrac{1}{42}$
となり，分子が $1$ となり，符号が正負を繰り返し，分母は $2$ 倍して $2$ を足す， $2$ 倍して $2$ を引く，を繰り返すことがわかります．この分母の規則性を頭で考えるよりも漸化式 $c_{n+1}=2c_n-2(-1)^n$ を作って分母を導く方が機械的で速いでしょう．もちろん結論ありきですが，見える人には
$b_1=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{1}{4-1}$ ， $b_2=-\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{1}{8+1}$ ， $b_3=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{1}{16-1}$ ， $b_4=-\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{1}{32+1}$ ， $b_5=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{1}{64-1}$
から $b_n=(-1)^{n-1}\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{1}{2^{n+1}+(-1)^n}$ となることが見えてきます．大学入試で良く

「 $1，1，2，3，5，8，13，…$ となる数列 $\{a_n\}$ を求めよ．」

という出題が非難されます．この条件では数列が一意に決まらないので，それはその通りなのですが，最初の数項から一般項を予測する力は重要であり，中学受験をした人が大学入試にも強くなる傾向がある理由の一つとして予測する力を育んでいるところも大きいように思います．出題も

「 $1，1，2，3，5，8，13，…$ となる数列 $\{a_n\}$ は複数考えられるが，そのうちの $1$ つを求めよ．」

としておけば文句は出ない訳でして，そして採点もネットワークに繋けないPCがあれば答案の数列が条件を満たすかどうかは割と簡単に確認できるので大事にはならないように思います．

少し話が逸れましたが，ともかく予測ができるには経験が必要なので，本問のような難しい部類の推測はあまり意味がないかも知れませんが，ある程度は予測する練習はした方が良いのではないかと思います．

ある程度予測を練習してるのでしたら，例えば，
$a_1=1$ ， $a_2=\dfrac{1}{3}$ ， $a_3=\dfrac{3}{5}$ ， $a_4=\dfrac{5}{11}$ ， $a_5=\dfrac{11}{21}$ ， $a_6=\dfrac{21}{43}$
となったときに， $a_n$ の分子と分母の振舞いは $n$ の偶奇に依存していることがわかり，

$a_n=\dfrac{p_n}{p_{n+1}}$ ， $p_1=p_2=1$ と表すと，
$p_{n+2}=\begin{cases} 4p_n+1 & (\mbox{$n$が偶数}) \\ 4p_n-1 & (\mbox{$n$が奇数}) \end{cases}$
と予想することができます．このとき
$p_3=3$ ， $p_{5}=11$ ， $p_{7}=43$ ， $p_{9}=171$ ， $p_{11}=683$ ， $p_{13}=2731$ ， $p_{9}=10293$
であり，
$p_4=5$ ， $p_{6}=21$ ， $p_{8}=85$ ， $p_{10}=341$ ， $p_{12}=1365$ ， $p_{14}=5461$ ， $p_{16}=21485$
と予想でき， $a_9=\dfrac{p_9}{p_{10}}=\dfrac{171}{341}$ ， $a_{15}=\dfrac{p_{15}}{p_{16}}=\dfrac{10923}{21485}$ と予想できる．

あくまでも予想です．この予想において
$p_{n+2}=\begin{cases} 4p_n+1 & (\mbox{$n$が偶数}) \\ 4p_n-1 & (\mbox{$n$が奇数}) \end{cases}$
を繰り返すと
$p_{n+4}=\begin{cases} 16p_n+5 & (\mbox{$n$が偶数}) \\ 16p_n-5 & (\mbox{$n$が奇数}) \end{cases}$ ，

$p_{n+6}=\begin{cases} 64p_n+21 & (\mbox{$n$が偶数}) \\ 64p_n-21 & (\mbox{$n$が奇数}) \end{cases}$ ，

$p_{n+8}=\begin{cases} 256p_n+85 & (\mbox{$n$が偶数}) \\ 256p_n-85 & (\mbox{$n$が奇数}) \end{cases}$
という予想が得られます．すると

$p_1=p_2=1$ から
$p_9=256\cdot 1-85=171$ ， $p_{10}=256\cdot 1+85=341$ ， $p_{15}=64\cdot 171-21=10923$ ， $p_{16}=64\cdot 341+21=21485$ となり， $a_9=\dfrac{p_9}{p_{10}}=\dfrac{171}{341}$ ， $a_{15}=\dfrac{p_{15}}{p_{16}}=\dfrac{10923}{21485}$ となる．

のように非常に簡単に計算をすることができます．但し，あくまでも予想ですので注意が必要です．それにしてもこのような面倒な問題を[1](1)に持ってくるのはかなりいけずではないかと思います．しかも既約分数で求めよとあるので $\dfrac{10923}{21485}$ が既約分数であるかどうかを本当は確認しなければならず，そのためにはユークリッドの互除法を理解していなければなりません．具体的には
$\mbox{gcd}\,(10923，21485)$ $=\mbox{gcd}\,(10923，10562)$ $=\mbox{gcd}\,(361，10562)$ $=\mbox{gcd}\,(361，93)$ $=\mbox{gcd}\,(82，93)$ $=\mbox{gcd}\,(82，11)$ $=\mbox{gcd}\,(5，11)=1$ と計算しなくてはなりません（ $361=19^2$ に気付けば $10562$ が $19$ で割り切れないことから互いに素であることがわかります）．

なお， $p_{n+2}=\begin{cases} 4p_n+1 & (\mbox{$n$が偶数}) \\ 4p_n-1 & (\mbox{$n$が奇数}) \end{cases}$ という予想が正しいことは，漸化式を解く途中でわかります．

$p_{n+2}-2p_{n+1}=-(p_{n+1}-2p_{n})=(-1)^n(p_2-2p_1)=(-1)^{n+1}$ により，

$p_{n+1}=\begin{cases} 2p_n+1 & (\mbox{$n$が偶数}) \\ 2p_n-1 & (\mbox{$n$が奇数}) \end{cases}$

が成立する．これを繰り返すと

$p_{n+2}=\begin{cases} 2(2p_{n}+1)-1=4p_n+1 & (\mbox{$n$が偶数}) \\ 2(2p_{n}-1)+1=4p_n-1 & (\mbox{$n$が奇数}) \end{cases}$

が成立し，よって

$p_{n+4}=\begin{cases} 16p_n+5 & (\mbox{$n$が偶数}) \\ 16p_n-5 & (\mbox{$n$が奇数}) \end{cases}$ ，

$p_{n+6}=\begin{cases} 64p_n+21 & (\mbox{$n$が偶数}) \\ 64p_n-21 & (\mbox{$n$が奇数}) \end{cases}$ ，

$p_{n+8}=\begin{cases} 256p_n+85 & (\mbox{$n$が偶数}) \\ 256p_n-85 & (\mbox{$n$が奇数}) \end{cases}$
が成立し， $p_9=256\cdot 1-85=171$ ， $p_{10}=256\cdot 1+85=341$ ， $p_{15}=64\cdot 171-21=10923$ ， $p_{16}=64\cdots 341+21=21485$ となり， $a_9=\dfrac{p_9}{p_{10}}=\dfrac{171}{341}$ ， $a_{15}=\dfrac{p_{15}}{p_{16}}=\dfrac{10923}{21485}$ となる．

最後に $p_n$ を四進数表示してみましょう（上で登場した $1，5，21，85$ は四進数で $1_{(4)}，11_{(4)}，111_{(4)}，1111_{(4)}$ です）．そのときに
$p_{n+2}=\begin{cases} 4p_n+1 & (\mbox{$n$が偶数}) \\ 4p_n-1 & (\mbox{$n$が奇数}) \end{cases}$
を使うと良いでしょう．すると $n$ が奇数のとき
$p_1=1_{(4)}$ ， $p_3=3_{(4)}$ ， $p_5=23_{(4)}$ ， $p_7=223_{(4)}$ ， $p_9=2223_{(4)}$ ，…
となり， $n$ が偶数のとき
$p_2=1_{(4)}$ ， $p_4=11_{(4)}$ ， $p_6=111_{(4)}$ ， $p_8=1111_{(4)}$ ， $p_{10}=11111_{(4)}$ ，…，
となります．よって $a_9=\dfrac{2223_{(4)}}{11111_{(4)}}$ ， $a_{15}=\dfrac{2222223_{(4)}}{11111111_{(4)}}$ となります．

ここで $a_{15}$ の分子分母を $3$ 倍すると
$a_{15}=\dfrac{22222230_{(4)}-2222223_{(4)}}{33333333_{(4)}}$ $=\dfrac{20000001_{(4)}}{33333333_{(4)}}$
となり，これを二進数に直すと
$a_{15}=\dfrac{1000000000000001_{(2)}}{1111111111111111_{(2)}}$
となります．これを十進数に直すと
$a_{15}=\dfrac{2^{15}+1}{2^{16}-1}=\dfrac{32768}{65535}=\dfrac{10923}{21485}$
となります．

四進数より二進数の方が好みの人もいるでしょう．

[大人の解答]
$a_n=\dfrac{p_n}{p_{n+1}}$ （既約分数とは限らない）とおくと $a_{n+1}=\dfrac{p_{n+1}}{p_n+p_{n+1}}$ となるので，
$p_{n+2}=p_{n+1}+2p_n$ ， $p_1=p_2=1$
が成立する．この漸化式を
$p_{n+2}+p_{n+1}=2(p_{n+1}+p_n)=2^{n+1}$ ， $p_1+p_2=10_{(2)}$
と変形することにより，
$p_{n+1}+p_{n}=\underbrace{10\cdots 0}_{n+1\mbox{桁}}{}_{(2)}$
（ $1$ の後に全て $0$ ）となり，
$p_{n+2}-2p_{n+1}=-(p_{n+1}-2p_n)=(-1)^n(p_2-2p_1)=(-1)^{n+1}$ ，
と変形することにより， $n$ が偶数とすると
$p_{n+1}-2p_{n}=1$ ，つまり $p_{n+1}+p_n=3p_{n}+1$ から
$3p_n=\underbrace{1\cdots 1}_{n\mbox{桁}}{}_{(2)}$
（全部 $1$ ）となり， $n$ が奇数とすると
$p_{n+1}-2p_{n}=-1$ ，つまり $p_{n+1}+p_n=3p_{n}-1$ から
$3p_n=\underbrace{10\cdots 01}_{n+1\mbox{桁}}{}_{(2)}$
（最初と最後が $1$ で残りが $0$ ）となる．

よって
$3p_n=\begin{cases} \underbrace{1\cdots 1}_{n\mbox{桁}}{}_{(2)} & (n\mbox{が偶数}) \\ \underbrace{10\cdots 01}_{n+1\mbox{桁}}{}_{(2)} & (n\mbox{が奇数}) \end{cases}$
となる．

よって $a_9=\dfrac{3p_9}{3p_{10}}=\dfrac{1000000001_{(2)}}{1111111111_{(2)}}$ $=\dfrac{2^9+1}{2^{10}-1}=\dfrac{513}{1023}=\dfrac{171}{341}$ ，
$a_{15}=\dfrac{3p_{15}}{3p_{16}}$ $=\dfrac{1000000000000001_{(2)}}{1111111111111111_{(2)}}$ $=\dfrac{2^{15}+1}{2^{16}-1}=\dfrac{32768}{65535}=\dfrac{10923}{21485}$
となる（ $3$ で約分できるのは明らか）．

ユークリッドの互除法から $\mbox{gcd}\,(2^{2l-1}+1，2^{2l}-1)$ $=\mbox{gcd}\,(3，2^{2l}-1)$ $=\mbox{gcd}\,(3，4^{l}-1)$ $=3$ ですから， $3$ で約分した後の分子と分母は互いに素です．

さて，[大人の解答]では $3p_n$ のまま変形しましたが， $p_n$ を求めると次のようになります．

[大人の解答]
（途中から）

$3p_n=\underbrace{1\cdots 1}_{n\mbox{桁}}{}_{(2)}$ と $n$ が偶数であることから，
$p_n=\underbrace{01\cdots 01}_{n\mbox{桁}}{}_{(2)}$ $=\underbrace{101\cdots 01}_{n-1\mbox{桁}}{}_{(2)}$
（ $1，0$ を交互に繰り返し）となり，
$p_{n+1}=\underbrace{101\cdots 011}_{n\mbox{桁}}{}_{(2)}$
（ $1，0$ を交互に繰り返すが最後は $11$ ）となる（ $n+1$ は奇数）．

よって
$p_n=\begin{cases} \underbrace{101\cdots 01}_{n-1\mbox{桁}}{}_{(2)} & (n\mbox{が偶数}) \\ \underbrace{101\cdots 011}_{n-1\mbox{桁}}{}_{(2)} & (n\mbox{が奇数}) \end{cases}$
となる．

よって $a_9=\dfrac{p_9}{p_{10}}=\dfrac{10101011_{(2)}}{101010101_{(2)}}$ ， $a_{15}=\dfrac{p_{15}}{p_{16}}=\dfrac{10101010101011_{(2)}}{101010101010101_{(2)}}$ となる．しかしこの計算は大変なので分子分母を $3$ 倍すると
$a_9=\dfrac{1000000001_{(2)}}{1111111111_{(2)}}$ $=\dfrac{2^9+1}{2^{10}-1}=\dfrac{513}{1023}=\dfrac{171}{341}$ ，
$a_{15}=\dfrac{1000000000000001_{(2)}}{1111111111111111_{(2)}}$ $=\dfrac{2^{15}+1}{2^{16}-1}=\dfrac{32768}{65535}=\dfrac{10923}{21485}$
（分子分母を $3$ 倍したので， $3$ で約分できる）となる．