https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Yamanashi/2026/Igaku

2026.03.14.21:58:30記

[1] 次の問題文の空欄 $\fbox{　ア　}$ から $\fbox{　コ　}$ にあてはまるものを解答欄に記入せよ．
ただし，有理数を分数で表す場合には既約分数とせよ．

(1) 数列 $\{a_n\}$ が $a_1=1$ ， $a_{n+1}=\dfrac{1}{2a_n+1}$ （ $n=1，2，3，…$ ）を満たすとき， $a_9=\fbox{　ア　}$ であり， $a_{15}=\fbox{　イ　}$ である．

(2) 関数 $f(x)=(\log x)^{3x}$ に対して， $f'(e)=\fbox{　ウ　}$ であり， $f''(e)=\fbox{　エ　}$ である．

(3) 不等式 $6+ \log_{\tfrac{1}{3}}(x -5)\gt \log_{\sqrt{3}}(x-1)$ を満たす整数 $x$ の中で，最小のものは $\fbox{　オ　}$ であり，最大のものは $\fbox{　カ　}$ である．

(4) $3$ 次方程式 $2x^3+12x^2+30x+25=0$ について，ある実数 $a=\fbox{　キ　}$ により $x=y+a$ とおくと， $2$ 次の項がない $y$ の $3$ 次方程式 $\fbox{　ク　}=0$ が得られる．ここで $y=u+v$ とおき， $u^3+v^3=\dfrac{3}{2}$ の条件の下で $u，v$ の方程式を解くと，実数となる $u+v$ について $x=u+v+a=\fbox{　ケ　}$ となる．

(5) 複素数 $\alpha，\beta$ は $2\alpha\beta-i\alpha-\beta+2i=0$ を満たす．複素数平面上で点 $\alpha$ が原点を中心とする単位円の周上を動くとき，点 $\beta$ が描く図形で囲まれる部分の面積は $\fbox{　コ　}$ である．

[2] 中身が見えない壺の中に赤玉が $6$ 個，青玉が $2$ 個，白玉が $2$ 個入っている．壺から玉を $1$ 個取り出して玉の色を記録し，壺に戻すことを $1000$ 回繰り返す．このとき赤玉と青玉の出た回数をそれぞれ $X，Y$ とする。

(1) $X=600$ であるとき， $192\leqq Y\leqq 197$ となる確率を，正規分布で近似する方法で求めよ．なお標準正規分布に従う確率変数 $Z$ について $p(z)= P(0\leqq Z\leqq z)$ は次の表のようになる．

$z$	$0.1$	$0.2$	$0.3$	$0.4$	$0.5$	$0.6$	$0.7$	$0.8$	$0.9$	$1.0$
$p(z)$	$0.0398$	$0.0793$	$0.1119$	$0.1554$	$0.1915$	$0.2257$	$0.2580$	$0.2881$	$0.3159$	$0.3413$

(2) $0$ 以上の整数 $s，t，u$ に対し $n=s+t+u$ とおく． $(a+b+c)^n$ の展開式における $a^sb^tc^u$ の項の係数を二項定理を用いて求め，階乗の記号を使って表せ．

(3) 期待値 $E(XY)$ を求めよ．

[3] 次の問いに答えよ．

(1) $1$ 辺の長さが $1$ である正五角形の対角線の長さを $a$ とする． $a$ の値を求めよ．さらに，係数が整数である2次の整式 $f(x)$ で $f(a)=0$ となるものを $1$ つ求めよ．

(2) $a$ を(1)で求めた値とし， $\mbox{AB}=\mbox{AC}=\mbox{AD}=1$ ， $\mbox{BC}=\mbox{CD}=\mbox{DB}=a$ である三角錐 $\mbox{ABCD}$ を考える．頂点 $\mbox{A}$ から三角形 $\mbox{BCD}$ を含む平面に下ろした垂線とその平面との交点を $\mbox{H}$ とするとき， $\mbox{AH}$ の長さの $2$ 乗を求めよ．

(3) $1$ 辺の長さが $1$ である正十二面体のすべての頂点を通る球面を考える．この球面の半径の $2$ 乗を求めよ．

[4] $xyz$ 空間内の $3$ 点 $\mbox{O}(0，0，0)$ ， $\mbox{P}(0，0，1)$ ， $\mbox{Q}(t，-t^2+5t-4，0)$ を考える． $t$ が $1\leqq t\leqq 3$ の範囲を動くとき，三角形 $\mbox{OPQ}$ が通過してできる立体の体積を求めよ．