https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Yamanashi/2025/Igaku

2025.04.01記

[4] $f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$ とする．次の問に答えよ．

(1) 関数 $f(x)$ の増減，極値，およびそのグラフの凹凸，変曲点，漸近線を調べよ．

(2) $\dfrac{1}{2}\lt a\lt 1$ を満たす実数 $a$ に対して， $S(a)=\displaystyle\int_0^1 |f(x)-ax| \, dx$ の最小値とそのときの $a$ の値を求めよ．

本問のテーマ

はみだし削り論法

今回は 2024年(令和6年)慶應義塾大学理工学部-数学[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR で説明した置換を用いる．

2025.04.01記

[解答]
(1) $f'(x)=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$ ， $f''(x)=\dfrac{2x(x^2-3)}{(x^2+1)^3}$ より増減表は次図：

$x$	$(-\infty)$	$\cdots$	$-\sqrt{3}$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$0$		$\cdots$	$1$		$\cdots$	$\sqrt{3}$	$\cdots$	$(+\infty)$
$f'$		$-$	$-$		$-$	$0$	$+$	$+$		$+$	$0$	$-$	$-$	$-$
$f''$		$-$	$0$		$+$	$+$	$+$	$0$		$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$f$	$(0)$	⤵	$-\frac{\sqrt{3}}{4}$	↳	$-\frac{1}{2}$		⤴	$0$	↱	$\frac{1}{2}$		⤵	$\frac{\sqrt{3}}{4}$	↳	$(0)$

よって $x=1$ で極大値 $\dfrac{1}{2}$ ， $x=-1$ で極小値 $\dfrac{1}{2}$ をとり， $x\lt -1$ ， $1\gt x$ で減少， $-1\lt x\lt 1$ で増加となる．また変曲点は $(0，0)$ ， $\left(\pm\sqrt{3}，\pm\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)$ （複号同順）となり， $x\lt-\sqrt{3}$ ， $0\lt x\lt\sqrt{3}$ で上に凸， $-\sqrt{3}\lt x\lt 0$ ， $\sqrt{3}\lt x$ で下に凸となる．さらに漸近線は $x$ 軸である．

(2) はみだし削り論法により $f\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=a\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ ，すなわち $a=\dfrac{2}{3}$ のときに最小となる訳だが，，，

(2) $S(a)=\displaystyle\int_0^1 \left|\dfrac{x}{x^2+1}-ax\right| \, dx$ で $x^2=u$ と置換すると $S(a)=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 \left|\dfrac{1}{u+1}-a\right| \, du$ となるので， $a=\dfrac{1}{b+1}$ をみたす $b$ （ $0\lt b\lt 1$ ）を用いて
$2S(a)=\displaystyle\int_0^b \left(\dfrac{1}{u+1}-\dfrac{1}{b+1}\right) \, du$ $+\displaystyle\int_b^1 \left(\dfrac{1}{b+1}-\dfrac{1}{u+1}\right) \, du$
$=\displaystyle\int_0^b \dfrac{1}{u+1}\, du-\displaystyle\int_b^1 \dfrac{1}{u+1}\, du+\dfrac{3}{b+1}-2$
が成立する．これを $b$ で微分して
$2\dfrac{dS(a)}{db}=\dfrac{2}{b+1}-\dfrac{3}{(b+1)^2}$ $=\dfrac{2b-1}{(b+1)^2}$
となる． $0\lt b\lt 1$ において負から始まり $b=\dfrac{1}{2}$ で 0 となり正となることから $S(a)$ は $b=\dfrac{1}{2}$ ，すなわち $a=\dfrac{2}{3}$ のときに最小となる．このとき最小値は
$2S\left(\dfrac{2}{3}\right)$ $=\displaystyle\int_0^{1/2} \dfrac{1}{u+1}\, du-\displaystyle\int_{1/2}^1 \dfrac{1}{u+1}\, du$
$=\log\dfrac{3}{2}-\log 1-\log 2+\log\dfrac{3}{2}$ $=\log\dfrac{9}{8}=2\log 3-3\log 2$
となり，
$S\left(\dfrac{2}{3}\right)$ $=\log 3-\dfrac{3}{2}\log 2$
となる．

普通の方法だと
$S(a)=\displaystyle\int_0^{1/\sqrt{2}} \left(\dfrac{x}{x^2+1}-\dfrac{2}{3}x\right)\, dx$ $-\displaystyle\int_{1/\sqrt{2}}^1 \left(\dfrac{2}{3}x-\dfrac{x}{x^2+1}\right)\, dx$ $=\Bigl[\dfrac{1}{2}\log(x^2+1)-\dfrac{x^2}{3}\Bigr]_0^{1/\sqrt{2}}$ $-\Bigl[\dfrac{1}{2}\log(x^2+1)-\dfrac{x^2}{3}\Bigr]_{1/\sqrt{2}}^1$

$=\dfrac{1}{2}\log\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{6}$ $-\dfrac{1}{2}\log 2+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}\log\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{6}$ $=\log\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}\log 2$ $=\log 3-\dfrac{3}{2}\log 2$
となる．