https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Yamanashi/2025/Igaku

2025.04.01記

[3] 座標平面上に，楕円 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ （ $a，b\gt 0$ ）がある．次の問に答えよ．

(1) 点 $\mbox{P}(p，q)$ を通る傾き $k$ の直線 $\ell$ を考える． $p^2\neq a^2$ であり，かつ $\ell$ が $E$ の接線であるとき， $k$ が満たす $k$ についての2次方程式を求めよ．

(2) 条件「点 $\mbox{P}(p，q)$ から $E$ へ互いに直交する2本の接線が引ける」を満たす点 $\mbox{P}$ の軌跡を求めよ．

本問のテーマ

楕円の準円

楕円と双曲線の準円 - 球面倶楽部零八式 mark II

2025.04.01記

[解答]
(1) $X=x$ ， $Y=\dfrac{a}{b}y$ とおくと $E$ は $X^2+Y^2=a^2$ に移され， $\ell$ は $bY=ak(X-p)+aq$ に移される．これらが接するので $\dfrac{|aq-akp|}{\sqrt{a^2k^2+b^2}}=a$ となり，整理して
$(p^2-a^2)k^2-2pqk+q^2-b^2=0$ …①
を得る．

(2) (1)の2次方程式の解の積が $-1$ であるから，解と係数の関係により $p^2-a^2=-(q^2-b^2)$ ，つまり $p^2+q^2=a^2+b^2$ が成立する．ここで $p^2\neq a^2$ であれば，①は実数係数の2次方程式となり，その2解の積が負であるならば，必ず異なる2つの実数解となるので直交する2本の接線の組が存在する．

よって求める点 $\rm P$ の軌跡は
円 $p^2+q^2=a^2+b^2$ （ $p^2\neq a^2$ ）
である（円から4点 $(\pm a，\pm b)$ (複号任意)を除いたもの）．

$p^2+q^2=a^2+b^2$ かつ $p^2\neq a^2$ のとき①は $k^2-\dfrac{2pq}{p^2-a^2}k-1=0$ となり，その判別式は $\left(\dfrac{2pq}{p^2-a^2}\right)^2+4\gt 0$ となる．