https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Yamanashi/2025/Igaku

2025.04.01記

[2] 連続する $n$ 日間の日程に対して散歩する日と散歩しない日を設定した予定表を作る．2日以上連続で散歩しない日は設定せず，1日目は必ずしも散歩する日とは限らないが， $n$ 日目は必ずしも散歩する日とする．このような予定表の作り方の総数を $f_n$ とおく．例えば， $f_1 = 1$ ， $f_2 = 2$ ， $f_3 = 3$ である．4以上の自然数 $n$ に対して， $f_n$ 通りの予定表のうち1つを選んだとき，4日目が散歩する日であるような予定表を選ぶ確率を $p_n$ とする．ただし， $f_n$ 通りの予定表はいずれも等しい確率 $\dfrac{1}{f_n}$ で選ばれるとする．

(1) $p_{12}$ を求めよ．

(2) $\displaystyle\lim_{n \to \infty} p_n$ を求めよ．また，その極限値は $0.7$ より大きいか調べよ．ただし， $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{f_{n+1}}{f_n}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ を使ってもよい．

本問のテーマ

フィボナッチ数列

2025.04.01記
数列の名前が $f$ で $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{f_{n+1}}{f_n}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ を見るとフィボナッチ数列との関係が予想される．

[解答]
$n$ 日目に散歩する場合， $n-1$ 日目に散歩した（ $f_{n-1}$ 通り）か $n-1$ 日目に散歩しなかった（この場合， $n-2$ 日目に必ず散歩しているので $f_{n-2}$ 通り）かのいずれかだから，
$f_n=f_{n-1}+f_{n-2}$
が成立する．

よって $f_1 = 1$ ， $f_2 = 2$ ， $f_3 = 3$ ， $f_4 = 5$ ， $f_5 = 8$ ， $f_6 = 13$ ， $f_7 = 21$ ， $f_8 = 34$ ， $f_9 = 55$ ， $f_{10} = 89$ ， $f_{11} = 144$ ， $f_{12} = 233$ ，…となる．

さて，4日目に散歩してかつ， $n$ 日目に散歩する場合の数は $f_4f_{n-4}=5f_{n-4}$ 通りだから， $p_n=\dfrac{5f_{n-4}}{f_n}$ である．

(1) $p_{12}=\dfrac{5f_4}{f_{12}}$ $=\dfrac{5\cdot 34}{233}=\dfrac{170}{233}$ となる．

(2) $\displaystyle\lim_{n \to \infty} p_n$ $=\displaystyle\lim_{n \to \infty} 5\cdot\dfrac{f_{n-4}}{f_{n-3}}\cdot\dfrac{f_{n-3}}{f_{n-2}}\cdot\dfrac{f_{n-2}}{f_{n-1}}\cdot\dfrac{f_{n-1}}{f_{n}}$ $=5\left(\dfrac{2}{1+\sqrt{5}}\right)^4$ $=5\left(\dfrac{2}{3+\sqrt{5}}\right)^2$ $=\dfrac{10}{7+3\sqrt{5}}$ $=\dfrac{35-15\sqrt{5}}{2}$ である．

よって $\dfrac{35-15\sqrt{5}}{2}$ と $0.7$ の大小を調べれば良く， $33.6$ と $15\sqrt{5}$ の大小を調べれば良く， $2.24$ と $\sqrt{5}$ の大小を調べれば良い．ここで $2.24^2=5.0176\gt \sqrt{5}$ であるから，極限値は 0.7 より大きい．

極限値 $\dfrac{10}{7+3\sqrt{5}}$ と $\dfrac{10}{7}$ の大小を調べても良く，これは $21\sqrt{5}$ と $51$ の大小に帰着され， $2205$ と $51^2\gt 2500$ の大小を調べることになり， $\dfrac{7+3\sqrt{5}}{10}\lt \dfrac{10}{7}$ が言える．よって極限値は 0.7 より大きい，とすると2桁の計算で済む．

なお極限値は $0.7294901687\cdots$ となる．