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2025.04.01記

[1](5) $P_0(x)=1$ ， $P_1(x)=x$ とし， $k=2$ ， $3$ に対して $P_k(x)$ を $x^k$ の項の係数が1であるような $k$ 次関数とする． $I_{m,n} =\displaystyle\int_0^1 P_m(x) P_n(x)\, dx$ とおく． $I_{2,0}=I_{2,1}=I_{3,0}=I_{3,1}=I_{3,2}=0$ であるとき， $P_2(x)=\fbox{　ケ　}$ であり， $P_3(x)=\fbox{　コ　}$ である．

本問のテーマ

ずらしルジャンドル多項式

1971年(昭和46年)東京大学-数学(理科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2025.04.01記

[大人の解答]
ずらしルジャンドル多項式（ルジャンドル多項式の $x$ を $2x-1$ に置き換えたもの）を定数倍して最高次の係数を1にしたものだから，
$P_2(x)=x^2-x+\dfrac{1}{6}$ であり， $P_3(x)=x^3-\dfrac{3}{2}x^2+\dfrac{3}{5}x-\dfrac{1}{20}$ である．

[解答]
$P_2(x)=x^2+ax+b$ とおくと
$\dfrac{1}{3}+\dfrac{a}{2}+b=0$ ， $\dfrac{1}{4}+\dfrac{a}{3}+\dfrac{b}{2}=0$
より $a=-1$ ， $b=\dfrac{1}{6}$ であるから $P_2(x)=x^2-x+\dfrac{1}{6}$ である．

$P_2(x)=x^3+px^2+qx+r$ とおくと
$I_{3,0}=I_{3,1}=I_{3,2}-I_{3,1}+\dfrac{1}{6}I_{3,0}=0$ であるから
$\dfrac{1}{4}+\dfrac{p}{3}+\dfrac{q}{2}+r=0$ ，
$\dfrac{1}{5}+\dfrac{p}{4}+\dfrac{q}{3}+\dfrac{r}{2}=0$ ，
$\dfrac{1}{6}+\dfrac{p}{5}+\dfrac{q}{4}+\dfrac{r}{3}=0$
が成立する．これを解いて $p=-\dfrac{3}{2}$ ， $q=\dfrac{3}{5}$ ， $r=-\dfrac{1}{20}$ となる．

ルジャンドル多項式は奇関数または偶関数となるので連立方程式を解くのが楽である．

[うまい解答]
$t=2x-1$ と置換し， $Q_k(t)=2^kP_k(t)$ とおくと，

$Q_0(t)=1$ ， $Q_1(t)=t+1$ である．

$Q_2(t)=t^2+At+B$ とおくと， $I_{2,0}=I_{2,1}-I_{2,0}=0$ から
$\displaystyle\int_{-1}^1 (t^2+At+B)\, dt=\dfrac{2}{3}+2B=0$ ， $\displaystyle\int_{-1}^1 (t^3+At^2+Bt)\, dt=\dfrac{2}{3}A=0$
となり， $A=0$ ， $B=-\dfrac{1}{3}$ から $Q_2(t)=t^2-\dfrac{1}{3}$ となる．よって
$P_2(x)=\dfrac{1}{4}\left\{(2x-1)^2-\dfrac{1}{3}\right\}$ $=\dfrac{1}{4}\left(4x^2-4x+\dfrac{2}{3}\right)=x^2-x+\dfrac{1}{6}$
となる．

$Q_3(t)=t^3+Ct^2+Dt+E$ とおくと，同様にして
$\displaystyle\int_{-1}^1 (t^3+Ct^2+Dt+E)\, dt=\dfrac{2}{3}C+2E=0$ ，
$\displaystyle\int_{-1}^1 (t^4+Ct^3+Dt^2+Et)\, dt=\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{3}D=0$ ，
$\displaystyle\int_{-1}^1 (t^5+Ct^4+Dt^2+Et^2)\, dt=\dfrac{2}{5}C+\dfrac{2}{3}E=0$
となり， $C=E=0$ ， $D=-\dfrac{3}{5}$ から $Q_3(t)=t^3-\dfrac{3}{5}t$ となる．よって
$P_3(x)=\dfrac{2x-1}{8}\left\{(2x-1)^2-\dfrac{3}{5}\right\}$ $=\dfrac{1}{8}\left(8x^3-12x^2+\dfrac{24}{5}x-\dfrac{2}{5}\right)$ $=x^3-\dfrac{3}{2}x^2+\dfrac{3}{5}x-\dfrac{1}{20}$
となる．