https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Yamanashi/2025/Igaku_1

2025.04.01記

[1](4) $b$ を $b\gt 1$ を満たす実数とし， $f(x)=2\log_b \left| \sqrt{2} \cos \dfrac{x}{2} \right|+2\log_b \left| 1-\cos x\right|+3\log_b 6$ とする．このとき，関数 $f(x)$ が $x=a$ で最大値 $2$ をとるならば $\cos a =\fbox{　キ　}$ であり， $b=\fbox{　ク　}$ となる．

2025.04.01記

[解答]
$f(x)=\log_b \{(1+\cos x)(1-\cos x)^2\}+3\log_b 6$ であり， $(1+X)(1-X)^2$ （ $-1\leqq X\leqq 1$ ）は「2×4の箱」から $X=-\dfrac{1}{3}$ で最大値 $\dfrac{32}{27}$ をとるので， $f(x)$ は $\cos x=-\dfrac{1}{3}$ のときに最大値 $f(x)=\log_b \dfrac{32}{27}+3\log_b 6=\log_b 2^8=2\log_b 2^4$ をとる．

よって $\cos a=-\dfrac{1}{3}$ ， $b=2^4=16$ となる．