https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Yamanashi/2025/Igaku_1

2025.04.01記

[1](3) $0\lt p\lt 1$ とする． $S_n(p)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k(1-p)^{k-2}p$ ， $T_n(p)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2(1-p)^{k-2}p$ とおく．このとき $\displaystyle\lim_{n \to \infty} S_n(p)=\fbox{　オ　}$ であり， $\displaystyle\lim_{n \to \infty} T_n\left(\dfrac{1}{4}\right)=\fbox{　カ　}$ である．ただし， $\displaystyle\lim_{n \to \infty} n(1-p)^n=0$ ， $\displaystyle\lim_{n \to \infty} n^2(1-p)^n=0$ であることを使ってもよい．

本問のテーマ

幾何分布

2025.04.01記
成功確率が $p$ のベルヌーイ試行を繰り返すときに始めて成功するまでの試行回数 $X$ が従う確率分布を幾何分布といい，
$P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$
が成立する．幾何分布の期待値，分散は
$E[X]=\dfrac{1}{p}$ ， $V[X]=\dfrac{1-p}{p^2}$
である．

[大人の解答]
幾何分布の期待値，分散は $E[X]=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} k(1-p)^{k-1}p=\dfrac{1}{p}$ ， $V[X]=E[X^2]-(E[X])^2=\dfrac{1-p}{p^2}$ であるから， $E[X^2]=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} k^2(1-p)^{k-1}p=\dfrac{2-p}{p^2}$ である．よって
$S_n(p)=\dfrac{1}{1-p}\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k(1-p)^{k-1}p$ ， $T_n(p)=\dfrac{1}{1-p}\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2(1-p)^{k-1}p$
から
$\displaystyle\lim_{n \to \infty} S_n(p)=\dfrac{1}{1-p}E[X]=\dfrac{1}{p(1-p)}$ ， $\displaystyle\lim_{n \to \infty} T_n(p)=\dfrac{1}{1-p}E[X^2]=\dfrac{2-p}{p^2(1-p)}$
となる．そして $\displaystyle\lim_{n \to \infty} T_n\left(\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{112}{3}$ である．

[解答]
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} x^{k}=\dfrac{x-x^{n+1}}{1-x}$ の両辺を微分すると $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} kx^{k-1}=\dfrac{1-(n+1)x^n+nx^{n+1}}{(1-x)^2}$ だから
$S_n(p)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k(1-p)^{k-2}p$ $=\dfrac{p}{1-p}\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k(1-p)^{k-1}$ $=\dfrac{p}{1-p}\cdot\dfrac{1-(n+1)(1-p)^{n}+n(1-p)^{n+1}}{p^2}$ $\to\dfrac{p}{1-p}\cdot\dfrac{1}{p^2}=\dfrac{1}{p(1-p)}$
が成立する．

さらに， $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} kx^{k-1}=\dfrac{1-(n+1)x^n+nx^{n+1}}{(1-x)^2}$ の両辺に $x$ を掛けて得られる $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} kx^{k}=\dfrac{x-(n+1)x^{n+1}+nx^{n+2}}{(1-x)^2}$ の両辺を微分すると
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2x^{k-1}=\dfrac{(1+x)-(n+1)^2x^n+(2n^2+2n-1)x^{n+1}-n^2x^{n+2}}{(1-x)^3}$
となるので，
$T_n(p)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2(1-p)^{k-2}p$ $=\dfrac{p}{1-p}\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2(1-p)^{k-1}$ $=\dfrac{p}{1-p}\cdot\dfrac{1+(1-p)}{p^3}$ $-\dfrac{p}{1-p}\cdot\dfrac{(n+1)^2(1-p)^n}{p^3}$ $+\dfrac{p}{1-p}\cdot\dfrac{(2n^2+2n-1)(1-p)^{n+1}}{p^3}$ $-\dfrac{p}{1-p}\cdot\dfrac{n^2(1-p)^{n+2}}{p^3}$ $\to\dfrac{p}{1-p}\cdot\dfrac{2-p}{p^3}=\dfrac{2-p}{p^2(1-p)}$
であるから， $\displaystyle\lim_{n \to \infty} T_n\left(\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{112}{3}$ である．