https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Yamanashi/2025/Igaku_1

2025.04.01記

[1](1) 放物線 $2y^2+3y+4x-6=0$ の焦点の座標は $\fbox{　ア　}$ であり，準線の方程式は $\fbox{　イ　}$ である．

2025.04.01記

[解答]
$\left(y+\dfrac{3}{4}\right)^2=-2\left(x-\dfrac{57}{32}\right)$ であるから，焦点の座標は $\left(\dfrac{41}{32}，-\dfrac{3}{4}\right)$ であり，準線の方程式は $y=\dfrac{73}{32}$ である．

放物線の式から焦点，準線の方程式の求め方を覚えていない場合は定義に従う（与えられた放物線の準線が $y$ 軸に平行であることだけは理解しておく）．

[別解]
焦点の座標を $(p，q)$ ，準線の方程式を $x=r$ とおくと，放物線の方程式は $\sqrt{(x-p)^2+(y-q)^2}=|x-r|$ ，すなわち
$(y-q)^2=2(p-r)\left(x-\dfrac{p+r}{2}\right)$ となる．これと $\left(y+\dfrac{3}{4}\right)^2=-2\left(x-\dfrac{57}{32}\right)$ を比較して
$q=-\dfrac{3}{4}$ ， $p-r=-1$ ， $p+r=\dfrac{57}{16}$
となり， $p=\dfrac{41}{32}$ ， $q=-\dfrac{3}{4}$ ， $r=\dfrac{73}{32}$ を得る．よって焦点の座標は $\left(\dfrac{41}{32}，-\dfrac{3}{4}\right)$ であり，準線の方程式は $y=\dfrac{73}{32}$ である．