https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Yamanashi/2025/Igaku

2025.04.01記

[1] 次の問題文の空欄 $\fbox{　ア　}$ から $\fbox{　コ　}$ にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(1) 放物線 $2y^2+3y+4x-6=0$ の焦点の座標は $\fbox{　ア　}$ であり，準線の方程式は $\fbox{　イ　}$ である．

(2) 正三角形 $\mbox{ABC}$ と，辺 $\mbox{BC}$ を $(1-t):t$ （ $0\lt t\lt 1$ ）に内分する点 $\mbox{P}$ がある．正三角形 $\mbox{ABC}$ の外接円と直線 $\mbox{AP}$ の交点のうち， $\mbox{A}$ と異なる点を $\mbox{Q}$ とし，比 $k=\dfrac{\mbox{AQ}}{\mbox{AP}}$ とする． $t=\dfrac{1}{2}$ のとき， $k=\fbox{　ウ　}$ であり， $t=\dfrac{1}{3}$ のとき， $k=\fbox{　エ　}$ である．

(3) $0\lt p\lt 1$ とする． $S_n(p)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k(1-p)^{k-2}p$ ， $T_n(p)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2(1-p)^{k-2}p$ とおく．このとき $\displaystyle\lim_{n \to \infty} S_n(p)=\fbox{　オ　}$ であり， $\displaystyle\lim_{n \to \infty} T_n\left(\dfrac{1}{4}\right)=\fbox{　カ　}$ である．ただし， $\displaystyle\lim_{n \to \infty} n(1-p)^n=0$ ， $\displaystyle\lim_{n \to \infty} n^2(1-p)^n=0$ であることを使ってもよい．

(4) $b$ を $b\gt 1$ を満たす実数とし， $f(x)=2\log_b \left| \sqrt{2} \cos \dfrac{x}{2} \right|+2\log_b \left| 1-\cos x\right|+3\log_b 6$ とする．このとき，関数 $f(x)$ が $x=a$ で最大値 $2$ をとるならば $\cos a =\fbox{　キ　}$ であり， $b=\fbox{　ク　}$ となる．

(5) $P_0(x)=1$ ， $P_1(x)=x$ とし， $k=2$ ， $3$ に対して $P_k(x)$ を $x^k$ の項の係数が1であるような $k$ 次関数とする． $I_{m,n} =\displaystyle\int_0^1 P_m(x) P_n(x)\, dx$ とおく． $I_{2,0}=I_{2,1}=I_{3,0}=I_{3,1}=I_{3,2}=0$ であるとき， $P_2(x)=\fbox{　ケ　}$ であり， $P_3(x)=\fbox{　コ　}$ である．

[2] 連続する $n$ 日間の日程に対して散歩する日と散歩しない日を設定した予定表を作る．2日以上連続で散歩しない日は設定せず，1日目は必ずしも散歩する日とは限らないが， $n$ 日目は必ずしも散歩する日とする．このような予定表の作り方の総数を $f_n$ とおく．例えば， $f_1 = 1$ ， $f_2 = 2$ ， $f_3 = 3$ である．4以上の自然数 $n$ に対して， $f_n$ 通りの予定表のうち1つを選んだとき，4日目が散歩する日であるような予定表を選ぶ確率を $p_n$ とする．ただし， $f_n$ 通りの予定表はいずれも等しい確率 $\dfrac{1}{f_n}$ で選ばれるとする．

(1) $p_{12}$ を求めよ．

(2) $\displaystyle\lim_{n \to \infty} p_n$ を求めよ．また，その極限値は $0.7$ より大きいか調べよ．ただし， $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{f_{n+1}}{f_n}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ を使ってもよい．