https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Yamanashi/2024/Igaku

2025.04.02記

[4] 等式
$\displaystyle\int_0^{2x} f(t)\, dt + \dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_0^{2\pi} (x+t)^2 f(t)\, dt = \sin 2x + a$
を満たす連続な関数 $f(x)$ および定数 $a$ の値を求めよ．

2025.04.02記

[解答]
$\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_0^{2\pi} f(t) \, dt=p$ ， $\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_0^{2\pi} tf(t) \, dt=q$ ， $\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_0^{2\pi} t^2f(t) \, dt=r$ とおくと

$\displaystyle\int_0^{2x} f(t)\, dt + px^2+2qx+r= \sin 2x + a$ …①

が成立する．①に $x=0$ を代入すると $r=a$ である．また①を $x$ で微分すると $2f(2x) + 2px+2q=2\cos 2x$ が全ての実数において成立するので
$f(x)=\cos x-\dfrac{p}{2}x-q$ …②
が成立する．ここで
$\displaystyle\int_0^{2\pi} \cos t\, dt$ $=\Bigl[\sin x\Bigr]_0^{2\pi}$ $=0$
$\displaystyle\int_0^{2\pi} t\cos t\, dt$ $=\Bigl[x\sin x+\cos x\Bigr]_0^{2\pi}$ $=0$ ，
$\displaystyle\int_0^{2\pi} t^2\cos t\, dt$ $=\Bigl[(x^2-2)\sin x+2x\cos x\Bigr]_0^{2\pi}$ $=4\pi$
であるから，
$2\pi p=\displaystyle\int_0^{2\pi} f(t) \, dt$ $=\displaystyle\int_0^{2\pi} \left(\cos t-\dfrac{p}{2}t-q\right) \, dt$ $=0-\pi^2 p- 2\pi q$ により $q=-\dfrac{\pi+2}{2}p$ …③，

$2\pi q=\displaystyle\int_0^{2\pi} tf(t) \, dt$ $=\displaystyle\int_0^{2\pi} \left(t\cos t-\dfrac{p}{2}t^2-qt\right) \, dt$ $=0-\dfrac{4\pi^3}{3} p- 2\pi^2 q$ により $q=-\dfrac{2\pi^2}{3(\pi+1)}p$ …④

が成立する．③④より $p=q=0$ であるから②より $f(x)=\cos x$ となる．

このとき $a=\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_0^{2\pi} t^2\cos t \, dt$ $=\dfrac{1}{2\pi}\cdot 4\pi=2$ となる．