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2024年(令和6年)山梨大学医学部後期-数学[3]

2025.04.02記

[3] 自然数 $j$ ， $k$ に対して
$A_{j,k}=j(j+1)\cdots (j+k-1)$ ， $B_{j,k}=(j+2k+1)A_{j,k}$
と定めるとき，2以上の自然数 $n$ に対し，次の問いに答えよ．

(1) $B_{1,1}$ ， $B_{2,1}$ ，…， $B_{n,1}$ の最大公約数を求めよ．

(2) $B_{1,k}$ ， $B_{2,k}$ ，…， $B_{n,k}$ の最大公約数を求めよ．

本問のテーマ

連続 $n$ 整数の積は $n!$ の倍数

2025.04.02記
$j+2k+1=(j-1)+2(k+1)$ という変形が本質的．

[解答]
$A_{j,k}=\dfrac{(j+k-1)!}{(j-1)!}=k!\cdot {}_{j+k-1}\mbox{C}_k$ は ${}_{j+k-1}\mbox{C}_k$ が整数であるから $k!$ の倍数である．同様に $A_{j-1,k+1}=(k+1)!\cdot {}_{j+k-1}\mbox{C}_{k+1}$ は $(k+1)!$ の倍数である．

さて， $B_{1,k}=2\cdot(k+1)!$ と $B_{2,k}=(2k+3)\cdot(k+1)!$ の最大公約数は $2k+3$ が奇数であるから $(k+1)!$ である．

$B_{j,k}=\{(j-1)+2(k+1)\}A_{j,k}$ $=A_{j-1,k+1}+2(k+1)A_{j,k}$ は
$A_{j-1,k+1}$ が $(k+1)!$ の倍数であり， $(k+1)A_{j,k}$ が $(k+1)\cdot k!$ の倍数であることから $(k+1)!$ の倍数となる．

よって $B_{1,k}$ ， $B_{2,k}$ ，…， $B_{n,k}$ の最大公約数は $(k+1)!$ である．特に $k=1$ のとき， $B_{1,1}$ ， $B_{2,1}$ ，…， $B_{n,1}$ の最大公約数は $2!=2$ である．

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