https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Yamanashi/2024/Igaku_1

2025.04.02記

[1](5) 平面上の点 $(6，18)$ を通る傾き $m$ の直線 $l$ と放物線 $y=\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{2}x-\dfrac{3}{8}$ が2つの共有点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ をもつとし，線分 $\mbox{AB}$ の長さを $d$ とする．ここで $m=0$ のとき $d =\fbox{　ク　}$ である．また， $d=12$ となるような $m$ の最小の値は $\fbox{　ケ　}$ である．

本問のテーマ

放物線の弦の長さ
(4次)相反方程式

2025.04.02記
4次相反方程式は $x+\dfrac{1}{x}=t$ とおいて $t$ の2次方程式に帰着させる方法が有名ですが，その流れを追うと
$x^4+ax^3+bx^2+ax+1=(x^2+px+1)(x^2+qx+1)$
と因数分解できるはずなので $p+q=a$ ， $pq=b-2$ となる $p，q$ を探すことになります．本問では $m^4-13m^3+38m^2-13m+1=0$ が登場するので $p+q=-13$ ， $pq=36$ なる $p，q$ を探して $\{p，q\}=\{-4，-9\}$ となり $(m^2-4m+1)(m^2-9m+1)=0$ と因数分解できることがわかります．

[解答]
直線 $l$ の方程式は $y=m(x-6)+18$ であるから
$\rm A，B$ の $x$ 座標は $4x^2+4x-3=8m(x-6)+144$ ，つまり
$4x^2+4(1-2m)x+48m-147=0$
の2解となるので，
$d^2=\mbox{AB}^2=(m^2+1)\cdot \dfrac{16(1-2m)^2-4\cdot 4\cdot (48m-147)}{16}$ $=4(m^2+1)(m^2-13m+37)$
となる．

よって $m=0$ のとき $d=2\sqrt{37}$ である．また $d=12$ のとき $144=4(m^2+1)(m^2-13m+37)$ から
$m^4-13m^3+38m^2-13m+1=0$ ，つまり
$(m^2-4m+1)(m^2-9m+1)=0$
が成立する．よって $m=2\pm\sqrt{3}$ ， $\dfrac{9\pm\sqrt{77}}{2}$ となる．

注）交点を与える $m$ の2次方程式の判別式の $m^2+1\gt 0$ 倍が $d^2$ ですから， $d^2\gt 0$ であることと，判別式が正であることは同値になります．よって $d^2=144$ を解いて得られる実数 $m$ は全て判別式を正にします．

$8.5^2=72.25\lt 77$ ， $3.5^2\gt 12$ により
$2-\sqrt{3}-\dfrac{9-\sqrt{77}}{2}=\dfrac{\sqrt{77}-\sqrt{12}-5}{2}\gt\dfrac{8.5-3.5-5}{2}=0$
となるので，4つの解のうち最小のものは $\dfrac{9-\sqrt{77}}{2}$ となる．

よって $\fbox{　ク　}=2\sqrt{37}$ ， $\fbox{　ケ　}＝\dfrac{9-\sqrt{77}}{2}$ である．

$m+\dfrac{1}{m}=k$ （ $k\gt 2$ ）の2解において大きい解は $k$ について単調増加，小さい解は $k$ について単調減少となることがグラフからわかります．

[うまい解答]
$m^4-13m^3+38m^2-13m+1=0$ ，つまり $m^2+\dfrac{1}{m^2}-13\left(m+\dfrac{1}{m}\right) +38=0$ が成立する．ここで
$m+\dfrac{1}{m}=M$ とおくと $(M^2-2)+13M+38=(M-4)(M-9)=0$ より $m+\dfrac{1}{m}=4，9$ が成立する．

$m+\dfrac{1}{m}$ のグラフを考えると，この条件を満たす $m$ の中で最小のものは $m+\dfrac{1}{m}=9$ を満たす $m$ の小さい方であるから， $m^2-9m+1=0$ の小さい解 $\dfrac{9-\sqrt{77}}{2}$ が最小のものとなる．