https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Yamanashi/2024/Igaku_1

2025.04.02記

[1](4) $x\gt 0$ とするとき，関数 $f(x) = x^{\sin x}$ ， $g(x)=\displaystyle\int_x^{2x+\pi} (x+t)f(t)\, dt$ について， $\{ f'(\pi) \}^2 - f(\pi) f''(\pi)$ の値は $\fbox{　カ　}$ であり， $g''\left( \dfrac{\pi}{2} \right)-10\pi f'(2\pi)$ の値は $\fbox{　キ　}$ である．

2025.04.02記
$f(x)$ の原始関数を $F(x)$ とおくと，
$\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,dt$ $=\dfrac{d}{dx}\{F(b(x))-F(a(x))\}=f(b(x))b'(x)-f(a(x))a'(x)$
である．

[解答]
$\log f(x)=(\log x)(\sin x)$ を微分して $\dfrac{f'(x)}{f(x)}=\dfrac{\sin x}{x}+(\log x)(\cos x)$ となり，さらに微分して
$\dfrac{f''(x)f(x)-\{f'(x)\}^2}{\{f(x)\}^2}=\dfrac{x\cos x-\sin x}{x^2}+\dfrac{\cos x}{x}-(\log x)(\sin x)$
となり， $x=\pi$ を代入すると， $f(\pi)=\pi^0=1$ により，
$\dfrac{f''(\pi)f(\pi)-\{f'(\pi)\}^2}{1}=\dfrac{-\pi}{\pi^2}+\dfrac{-1}{\pi}-0$ $=\dfrac{-2}{\pi}$ ，
つまり $\{ f'(\pi) \}^2 - f(\pi) f''(\pi)=\dfrac{2}{\pi}$ となる．

また， $g(x)=x\displaystyle\int_x^{2x+\pi} f(t)\, dt$ $+\displaystyle\int_x^{2x+\pi} tf(t)\, dt$ を微分すると
$g'(x)=\displaystyle\int_x^{2x+\pi} f(t)\, dt$ $+x\cdot \{2f(2x+\pi)-f(x)\}$ $+\{2(2x+\pi)f(2x+\pi)-xf(x)\}$ $=\displaystyle\int_x^{2x+\pi} f(t)\, dt$ $+2(3x+\pi)f(2x+\pi)-2xf(x)$
により，
$g'’(x)=2f(2x+\pi)-f(x)+6f(2x+\pi)+4(3x+\pi)f'(2x+\pi)-2f(x)-2xf'(x)$ $=8f(2x+\pi)+4(3x+\pi)f'(2x+\pi)-3f(x)-2xf'(x)$
となるので，
$g''\left( \dfrac{\pi}{2} \right)$ $=8f(2\pi)+10\pi f'(2\pi)-3f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)-\pi f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$
が成立する．よって
$f(2\pi)=1$ ， $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{\pi}{2}$ ， $f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{2}{\pi}f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1$ を用いて

$g''\left( \dfrac{\pi}{2} \right)-10\pi f'(2\pi)$ $=8f(2\pi)-3f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)-\pi f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ $=8-\dfrac{3}{2}\pi-\pi$ $=8-\dfrac{5}{2}\pi$
となる．よって $\fbox{　カ　}=\dfrac{2}{\pi}$ ， $\fbox{　キ　}=8-\dfrac{5}{2}\pi$ である．

うまく $f'(2\pi)$ を計算せずに済むように設定しているが， $f'(2\pi)=\log (2\pi)$ なのでそれほど面倒な訳でもない．