https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Yamanashi/2024/Igaku_1

2025.04.02記

[1](3) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n\dfrac{n^3}{3n^4 +4n^2k^2+k^4}=\fbox{　オ　}$ である．

本問のテーマ

区分求積法

2025.04.02記
$\displaystyle\int\dfrac{1}{x^2+a^2}\, dx$ （ $a\gt 0$ ）は $x=a\tan\theta$ と置換すると $\dfrac{1}{a}\displaystyle\int d\theta$ となる．

[解答]
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n\dfrac{n^3}{3n^4 +4n^2k^2+k^4}$ $=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\sum_{k=0}^n\dfrac{1}{3 +4\left(\dfrac{k}{n}\right)^2+\left(\dfrac{k}{n}\right)^4}$ $=\displaystyle\int_0^1\dfrac{1}{x^4+4x^2+3}\,dx$ $=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^1\left(\dfrac{1}{x^2+1}-\dfrac{1}{x^2+3}\right)\,dx$ $=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\pi/4} \theta\,d\theta$ $-\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\displaystyle\int_0^{\pi/6} \theta\,d\theta$ $=\dfrac{\pi}{8}-\dfrac{\pi}{12\sqrt{3}}$ $=\dfrac{9-2\sqrt{3}}{72}\pi$
となるので， $\fbox{　オ　}=\dfrac{9-2\sqrt{3}}{72}\pi$ である．