https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Yamanashi/2024/Igaku_1

2025.04.02記

[1](2) $x_1+x_2+x_3=4$ を満たす自然数の組 $(x_1，x_2，x_3)$ は， $(1，2，1)$ ， $(1，1，2)$ ， $(2，1，1)$ より，組の数は $3$ 組である． $2\leqq m\leqq n$ を満たす自然数 $m$ ， $n$ に対し， $\displaystyle\sum_{k=1}^{m} x_k=n$ を満たす自然数の組 $(x_1，x_2，\mbox{…}，x_m)$ について組の数は $\fbox{　ウ　}$ 組である．また， $p ={}_{198}\mbox{C}_{98}$ とするとき， $\displaystyle\sum_{k=1}^{100} x_k\leqq 200$ を満たす自然数の組 $(x_1，x_2，\mbox{…}，x_{100})$ について組の数を $p$ の式で表すと $\fbox{　エ　}$ 組である．

本問のテーマ

二項係数の斜めの和と和分

2025.04.02記
二項係数 ${}_n\mbox{C}_k$ は， ${}_n\mbox{C}_k={}_{n+1}\mbox{C}_{k+1}-{}_{n}\mbox{C}_{k+1}$ のように差分の形で表すことができるので，この式で $n$ を自然数 $a$ から $b$ まで足し合わせると
$\displaystyle\sum_{n=a}^b {}_n\mbox{C}_k={}_{b+1}\mbox{C}_{k+1}-{}_{a}\mbox{C}_{k+1}$
と表すことができる．

[解答]
$y_k=x_k-1$ （ $k=1，…，m$ ）とおくと $\displaystyle\sum_{k=1}^{m} y_k=n-m$ なる非負整数の組 $(y_1，y_2，\mbox{…}，y_m)$ の数を求めれば良く，その総数は ${}_{n-m+(m-1)}\mbox{C}_{m-1}={}_{n-1}\mbox{C}_{m-1}$ である．

$n\geqq 100$ なる任意の自然数について ${}_{n}\mbox{C}_{100}+{}_{n}\mbox{C}_{99}={}_{n+1}\mbox{C}_{100}$ であることに注意すると，求める自然数の組 $(x_1，x_2，\mbox{…}，x_{100})$ の個数は，
$\displaystyle\sum_{n=100}^{200} {}_{n-1}\mbox{C}_{99}$ $=\displaystyle\sum_{n=99}^{199} {}_{n}\mbox{C}_{99}$ $={}_{99}\mbox{C}_{99}+\displaystyle\sum_{n=100}^{199} {}_{n}\mbox{C}_{99}$ $={}_{99}\mbox{C}_{99}+({}_{200}\mbox{C}_{100}-{}_{100}\mbox{C}_{100})$ $=1+{}_{200}\mbox{C}_{100}-1$ $={}_{200}\mbox{C}_{100}$ $=\dfrac{200\cdot 199}{100\cdot 99}\cdot {}_{198}\mbox{C}_{98}$ $=\dfrac{398}{99}p$ となる．

注）そのまま公式をあてはめると高校範囲外の ${}_{99}\mbox{C}_{100}$ が登場するので1つずらした．愚直に
${}_{99}\mbox{C}_{99}+{}_{100}\mbox{C}_{99}+{}_{101}\mbox{C}_{99}+\cdots+{}_{199}\mbox{C}_{99}$
$={}_{100}\mbox{C}_{100}+{}_{100}\mbox{C}_{99}+{}_{101}\mbox{C}_{99}+\cdots+{}_{199}\mbox{C}_{99}$
$={}_{101}\mbox{C}_{100}+{}_{101}\mbox{C}_{99}+\cdots+{}_{199}\mbox{C}_{99}$
$=…={}_{200}\mbox{C}_{100}$ $=\dfrac{200\cdot 199}{100\cdot 99}\cdot {}_{198}\mbox{C}_{98}$ $=\dfrac{398}{99}p$
となる，とする方法もある．

よって $\fbox{　ウ　}={}_{n-1}\mbox{C}_{m-1}$ ， $\fbox{　エ　}=\dfrac{398}{99}p$ である．

一般二項係数において ${}_{99}\mbox{C}_{100}=0$ が成立する．

[大人の解答]
${}_{99}\mbox{C}_{100}=0$ より $\displaystyle\sum_{n=100}^{200} {}_{n-1}\mbox{C}_{99}$ $={}_{200}\mbox{C}_{100}-{}_{99}\mbox{C}_{100}$ $={}_{200}\mbox{C}_{100}-0$ $={}_{200}\mbox{C}_{100}$
が成立する．