https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Yamanashi/2024/Igaku_1

2025.04.02記

[1](1) $\mbox{OA=2}$ ， $\mbox{OB}=3$ ， $\angle\mbox{AOB}=\dfrac{1}{6}$ である $\cos\triangle\mbox{OAB}$ において，点 $\mbox{O}$ を通り直線 $\mbox{AB}$ に垂直な直線と点 $\mbox{A}$ を通り直線 $\mbox{OB}$ に垂直な直線の交点を $\mbox{H}$ とする．このとき， $\overrightarrow{\mbox{OH}}=\fbox{　ア　}\,\overrightarrow{\mbox{OA}}+\fbox{　イ　}\,\overrightarrow{\mbox{OB}}$ である．

本問のテーマ

内積と正射影

2025.04.02記

[解答]
$\overrightarrow{\mbox{OA}}\bullet\overrightarrow{\mbox{OB}}=2\cdot 3\cdot \dfrac{1}{6}=1$ である． $\overrightarrow{\mbox{OH}}=p\overrightarrow{\mbox{OA}}+q\overrightarrow{\mbox{OB}}$ とおくと， $\overrightarrow{\mbox{OH}}\bullet\overrightarrow{\mbox{OA}}=\overrightarrow{\mbox{OB}}\bullet\overrightarrow{\mbox{OA}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{OH}}\bullet\overrightarrow{\mbox{OB}}=\overrightarrow{\mbox{OA}}\bullet\overrightarrow{\mbox{OB}}$
であるから， $1=4p+q$ ， $1=p+9q$ となり， $p=\dfrac{8}{35}$ ， $p=\dfrac{3}{35}$ となる．よって

となり， $\fbox{　ア　}=\dfrac{8}{35}$ ， $\fbox{　イ　}=\dfrac{3}{35}$ となる．