https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Yamanashi/2024/Igaku

2025.04.02記

[1] 次の問題文の空欄 $\fbox{　ア　}$ から $\fbox{　ケ　}$ にあてはまるものを解答欄に記入せよ．ただし有理数を分数で表す場合は既約分数とせよ．

(1) $\mbox{OA=2}$ ， $\mbox{OB}=3$ ， $\cos\angle\mbox{AOB}=\dfrac{1}{6}$ である $\triangle\mbox{OAB}$ において，点 $\mbox{O}$ を通り直線 $\mbox{AB}$ に垂直な直線と点 $\mbox{A}$ を通り直線 $\mbox{OB}$ に垂直な直線の交点を $\mbox{H}$ とする．このとき， $\overrightarrow{\mbox{OH}}=\fbox{　ア　}\,\overrightarrow{\mbox{OA}}+\fbox{　イ　}\,\overrightarrow{\mbox{OB}}$ である．

(2) $x_1+x_2+x_3=4$ を満たす自然数の組 $(x_1，x_2，x_3)$ は， $(1，2，1)$ ， $(1，1，2)$ ， $(2，1，1)$ より，組の数は $3$ 組である． $2\leqq m\leqq n$ を満たす自然数 $m$ ， $n$ に対し， $\displaystyle\sum_{k=1}^{m} x_k=n$ を満たす自然数の組 $(x_1，x_2，\mbox{…}，x_m)$ について組の数は $\fbox{　ウ　}$ 組である．また， $p ={}_{198}\mbox{C}_{98}$ とするとき， $\displaystyle\sum_{k=1}^{100} x_k\leqq 200$ を満たす自然数の組 $(x_1，x_2，\mbox{…}，x_{100})$ について組の数を $p$ の式で表すと $\fbox{　エ　}$ 組である．

(3) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n\dfrac{n^3}{3n^4 +4n^2k^2+k^4}=\fbox{　オ　}$ である．

(4) $x\gt 0$ とするとき，関数 $f(x) = x^{\sin x}$ ， $g(x)=\displaystyle\int_x^{2x+\pi} (x+t)f(t)\, dt$ について， $\{ f'(\pi) \}^2 - f(\pi) f''(\pi)$ の値は $\fbox{　カ　}$ であり， $g''\left( \dfrac{\pi}{2} \right)-10\pi f'(2\pi)$ の値は $\fbox{　キ　}$ である．

(5) 平面上の点 $(6，18)$ を通る傾き $m$ の直線 $l$ と放物線 $y=\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{2}x-\dfrac{3}{8}$ が2つの共有点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ をもつとし，線分 $\mbox{AB}$ の長さを $d$ とする．ここで $m=0$ のとき $d =\fbox{　ク　}$ である．また， $d=12$ となるような $m$ の最小の値は $\fbox{　ケ　}$ である．

[2] 中の見えない壺に，6個の赤玉と4個の白玉が入っている．ここから玉を1回に1個取り出し，元に戻さないとする． $n$ 個の玉を取り出した時点で，取り出した赤玉の総数を $r_n$ ，白玉の総数を $w_n$ とする．このとき， $r_1\geqq w_1$ ， $r_2\geqq w_2$ ，…， $r_{10}\geqq w_{10}$ がすべて成り立つ確率を求めよ．

[3] 自然数 $j$ ， $k$ に対して
$A_{j,k}=j(j+1)\cdots (j+k-1)$ ， $B_{j,k}=(j+2k+1)A_{j,k}$
と定めるとき，2以上の自然数 $n$ に対し，次の問いに答えよ．

(1) $B_{1,1}$ ， $B_{2,1}$ ，…， $B_{n,1}$ の最大公約数を求めよ．

(2) $B_{1,k}$ ， $B_{2,k}$ ，…， $B_{n,k}$ の最大公約数を求めよ．

[4] 等式
$\displaystyle\int_0^{2x} f(t)\, dt + \dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_0^{2\pi} (x+t)^2 f(t)\, dt = \sin 2x + a$
を満たす連続な関数 $f(x)$ および定数 $a$ の値を求めよ．