https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Yamanashi/2023/Igaku

2025.04.06記

[5] $0$ 以上の整数 $n$ に対し，関数 $f_n(x)$ を

$f_0(x) = 1$ ， $f_1(x) = x$ ， $f_{n+2}(x)=2xf_{n+1}(x)-f_{n}(x)$ （ $n=0，1，2，\cdots$ ）

により定める．

(1) $0$ 以上の整数 $n$ と任意の実数 $\theta$ に対し，等式 $f_n(\cos \theta) = \cos n\theta$ が成り立つことを示せ．

(2) 自然数 $p，q，x$ に対し， $I_{p,q}=\displaystyle\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} f'_{3p}(x) f'_{3q}(x)\sqrt{1-x^2}\, dx$ を求めよ．ただし， $f'_n(x)$ は $f_n(x)$ の導関数である．

本問のテーマ

チェビシェフ多項式

2025.04.07記

[解答]
(1) $f_0(\cos\theta)=1=\cos 0\theta$ ， $f_1(\cos\theta)=\cos\theta$ であるから， $n=0，1$ のとき $f_n(\cos \theta) = \cos n\theta$ が成り立つ．

$n，n+1$ で $f_n(\cos \theta) = \cos n\theta$ が成り立つと仮定すると
$f_{n+2}(\cos\theta)=2\cos\theta \cos(n+1)\theta-\cos n\theta$ $=(\cos(n+2)\theta +\cos n\theta)-\cos n\theta$ $=\cos(n+2)\theta$
より $n+2$ でも成立するので，数学的帰納法により $0$ 以上の整数 $n$ と任意の実数 $\theta$ に対し，等式 $f_n(\cos \theta) = \cos n\theta$ が成り立つ．

(2) $f_n(\cos \theta) = \cos n\theta$ により $f'_n(\cos \theta)(-\sin\theta) =- n\sin n\theta$ が成立することに注意して $x=\cos\theta$ と置換することにより
$I_{p,q}=\displaystyle\int_{\frac{2\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}} \dfrac{9pq\sin 3p\theta\sin 3q\theta}{\sin^2\theta}\cdot \sin\theta (-\sin\theta\, d\theta)$ $=9pq\displaystyle\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \sin 3p\theta\sin 3q\theta\, d\theta$
である．ここで $3\theta-\pi=u$ と置換すると
$I_{p,q}=3pq\displaystyle\int_{0}^{\pi} \sin p(u+\pi) \sin q(u+\pi)\, du$ $=3pq(-1)^{p+q} \displaystyle\int_{0}^{\pi} \sin pu \sin qu\, du$
が成立する．よって　 $p=q$ のとき $I_{p,p}=3p^2\displaystyle\int_{0}^{\pi} \sin^2 pu\, du$ $=\dfrac{3p^2}{2}\displaystyle\int_{0}^{\pi} (1-\cos 2pu)\, du$ $=\dfrac{3p^2}{2}\pi$ であり，
$p\neq q$ のとき　 $I_{p,q}$ $=\dfrac{3pq(-1)^{p+q}}{2}$ $\Bigl[ \dfrac{\sin(p-q)u}{p-q}-\dfrac{\sin(p+q)u}{p+q}\Bigr]_{0}^{\pi}$ $=0$ である．