https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Yamanashi/2023/Igaku

2025.04.06記

[4] 整数の組 $(x，y，z)$ が次の $2$ つの式をともに満たすとき， $(x，y，z)$ は $(\ast)$ を満たす整数の組であるという．

$(\ast)$ 　 $x^2+y^2+z^2-3xyz=0$ ， $0\lt x\lt y\lt z$

例えば， $(1，2，5)$ は $(\ast)$ を満たす整数の組である．

(1) $(2，5，a)$ が $(\ast)$ を満たす整数の組となるような整数 $a$ を求めよ．

(2) 次の条件(i)，(ii)をともに満たす数列 $\{a_n\}$ が存在することを示せ．

(i) $a_1=1$ ， $a_2=2$ である．

(ii) 任意の自然数 $n$ に対して， $(a_n，a_{n+1}，a_{n+2})$ は $(\ast)$ を満たす整数の組である．

(3) (2)の数列 $\{a_n\}$ はただ $1$ つである．この数列 $\{a_n\}$ について， $a_n$ が偶数となる $n$ をすべて求めよ．

本問のテーマ

マルコフ方程式（マルコフのディオファントス方程式）

2024年(令和6年)東北大学理学部数学系AO入試II期-数学[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2025.04.07記
マルコフ方程式（マルコフのディオファントス方程式）
マルコフ数 - Wikipedia

この手の問題は，ある解から別の解を生成する規則を見つければ良い．これを $x$ についての2次方程式とみて、そのうちの1つの解が既知の解で、もう1つの解が未知の解となれば良いと考える．

[解答]
(1) $4+25+a^2-30a=0$ ， $5\lt a$ から $a=29$ である．

(2) $a_1=1$ ， $a_2=2$ ， $a_3=5$ であり，任意の自然数 $n$ について $a_n\lt a_{n+1}\lt a_{n+2}$ であるから，数列 $\{a_n\}$ は単調増加な自然数の列である．

さて， $(a_n，a_{n+1}，a_{n+2})$ が $(\ast)$ を満たす自然数の組であるとき，
$a_n^2+a_{n+1}^2+a_{n+2}^2-3a_na_{n+1}a_{n+2}=0$ …①
が成立する．このとき
$a_{n+1}^2+a_{n+2}^2+z^2-3a_{n+1}a_{n+2}z=0$ …②
を満たす $z$ は② $-$ ①より
$z^2-a_n^2-3(z-a_n)a_{n+1}a_{n+2}=(z-a_n)(z+a_n-3a_{n+1}a_{n+2})=0$
を満たし， $z\gt a_{n+2}$ より
$z=3a_{n+1}a_{n+2}-a_n$ が必要であり，
$z-a_{n+2}=3a_{n+1}a_{n+2}-a_n-a_{n+2}\gt 3\cdot 1\cdot a_{n+2}-a_n-a_{n+2}\gt a_{n+2}\gt 0$
であるから， $z=3a_{n+1}a_{n+2}-a_n\gt a_{n+2}$ となり十分である．つまり
$(a_{n+1}，a_{n+2}，a_{n+3}=3a_{n+1}a_{n+2}-a_n)$ は $(\ast)$ を満たす自然数の組である．

よって，
$a_1=1$ ， $a_2=2$ ， $a_3=5$ ，
$a_{n+3}=3a_{n+1}a_{n+2}-a_n$ （ $n\geqq 1$ ）
で定まる数列 $\{a_n\}$ は条件(i)(ii)を満たす．

(3) mod 2 で考えると
$a_1\equiv1$ ， $a_2\equiv0$ ， $a_3\equiv1$ ，
$a_{n+3}\equiv a_{n+1}a_{n+2}+a_n$ （ $n\geqq 1$ ）
となる．よって
$a_1\equiv1$ ， $a_2\equiv0$ ， $a_3\equiv1$ ， $a_4\equiv1$ ， $a_5\equiv1$ ， $a_6\equiv0$ ， $a_7\equiv1$ ， $a_8\equiv1$ ， $a_9\equiv1$ ，…となる．