https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Yamanashi/2023/Igaku

2025.04.06記

[3] $1$ から $10$ までの整数が $1$ つずつ重複せずに書かれた $10$ 枚のカードがある．この中から同時に4枚のカードを取り出すとき，取り出したカードに書かれている数の和が $20$ 以下となる確率を求めよ．

2025.04.06記

[解答]
カードが小さい順に $a，b，c，d$ とする．

(i) $d=10$ のとき： $a+b+c\leqq 10$ である．
$(a，b，c)=(1，2，3〜7)，(1，3，4〜6)，(1，4，5)，(2，3，4〜5)$ の $11$ 通り

(ii) $d=9$ のとき： $a+b+c\leqq 11$ である．
$(a，b，c)=(1，2，3〜8)，(1，3，4〜7)，(1，4，5〜6)$ ， $(2，3，4〜6)，(2，4，5)$ の $16$ 通り

(iii) $d=8$ のとき： $a+b+c\leqq 12$ である．
$(a，b，c)=(1，2，3〜7)，(1，3，4〜7)，(1，4，5〜7)，(1，5，6)$ ， $(2，3，4〜7)，(2，4，5〜6)$ ， $(3，4，5)$ の $20$ 通り

(iv) $d=7$ のとき： $a+b+c\leqq 13$ である．
$(a，b，c)=(1，2，3〜6)，(1，3，4〜6)，(1，4，5〜6)，(1，5，6)$ ， $(2，3，4〜6)，(2，4，5〜6)，(2，5，6)$ ， $(3，4，5〜6)$ の $18$ 通り

(v) $d=6$ のとき： $a+b+c\leqq 14$ は必ず成立するので ${}_5\mbox{C}_3=10$ 通り

(vi) $d=5$ のとき： $a+b+c\leqq 15$ は必ず成立するので ${}_4\mbox{C}_3=4$ 通り

(vii) $d=4$ のとき： $a+b+c\leqq 16$ は必ず成立するので ${}_3\mbox{C}_3=1$ 通り

よって求める場合の数は $11+16+20+18+10+4+1=80$ 通りとなり，求める確率は $\dfrac{80}{{}_{10}\mbox{C}_{4}}=\dfrac{80}{210}=\dfrac{8}{21}$ となる．