https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Yamanashi/2023/Igaku_2

2025.04.06記

[2](4) $xy$ 平面において， $2$ つの曲線 $y = \sin x$ $\left( \dfrac{\pi}{4} \leqq x \leqq \dfrac{5\pi}{4} \right)$ ， $y = \cos x$ $\left( \dfrac{\pi}{4} \leqq x \leqq \dfrac{5\pi}{4} \right)$ で囲まれた部分の面積は $\fbox{　セ　}$ である．また，この部分を $x$ 軸のまわりに $1$ 回転してできる立体の体積は $\fbox{　ソ　}$ である．

2025.04.06記

[解答]
囲まれた部分の面積は $\displaystyle\int_{\pi/4}^{5\pi/4}(\sin x-\cos x)\, dx$ $=\sqrt{2}\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin x\, dx$ $=2\sqrt{2}$ であり，囲まれた部分を $x$ 軸のまわりに回転させてできる立体の体積を $V$ とすると
$\dfrac{V}{\pi}=2\left\{\displaystyle\int_{\pi/4}^{3\pi/4} \sin^2 x\, dx-\displaystyle\int_{\pi/4}^{\pi/2}\cos^2 x\, dx\right\}$ $=\displaystyle\int_{\pi/4}^{3\pi/4} (1-\cos 2x)\, dx-\displaystyle\int_{\pi/4}^{\pi/2} (1+\cos 2x)\, dx$ $=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{4}-\displaystyle\int_{\pi/4}^{3\pi/4} \cos 2x\, dx-\displaystyle\int_{\pi/4}^{\pi/2} \cos 2x\, dx$ $=\dfrac{\pi}{4}-3\displaystyle\int_{\pi/4}^{\pi/2} \cos 2x\, dx$ $=\dfrac{\pi}{4}-3\Bigl[\dfrac{\sin 2x}{2}\Bigr]_{\pi/4}^{\pi/2}$ $=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{3}{2}$
であるから $V=\dfrac{\pi^2+6\pi}{4}$ となる．よって $\fbox{　ソ　}=\dfrac{\pi^2+6\pi}{4}$ である．