https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Yamanashi/2023/Igaku_2

2025.04.06記

[2](3) $x$ の $8$ 次式 $f(x)$ は整数 $k$ （ $0\leqq k \leqq 8$ ）に対して， $f(k)=\dfrac{k^2}{k+1}$ を満たす．このとき， $f(9)$ の値を既約分数で求めると， $f(9) = \fbox{　ス　}$ である．

本問のテーマ

因数を無理矢理作る

2025.04.06記
因数定理の応用（一種の補間公式） - 球面倶楽部零八式 mark II でも触れた，因数を無理矢理作る受験テクニック．ニュートンの補間公式を暗算でやる感じ．

[解答]
$x$ の $9$ 次式 $g(x)=(x+1)f(x)-x^2$ は整数 $k$ （ $0\leqq k \leqq 8$ ）に対して， $g(k)=0$ を満たすので，
$g(x)=Ax(x-1)(x-2)\cdots (x-8)$ と因数分解でき， $g(-1)=-1$ より $A=\dfrac{1}{9!}$ である．

よって $g(9)=\dfrac{9!}{9!}=1=10f(9)-81$ となり， $f(9)=\dfrac{82}{10}=\dfrac{41}{5}$ となる．よって $\fbox{　ス　}=\dfrac{41}{5}$ である．